Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Título: | Aplicaciones de la teoría de Tomita Takesaki en teoría cuántica de campos |
| Título alternativo: | Applications of Tomita–Takesaki theory in quantum field theory |
| Autor: | Palau, Gabriel Alexis |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Fecha de defensa: | 2026-03-02 |
| Fecha en portada: | 2 de marzo del 2026 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Físicas |
| Departamento Docente: | Departamento de Física |
| Director: | Garbarz, Alan Nicolás |
| Consejero: | Ferraro, Rafael |
| Jurado: | Huerta, Marina; Sasyk, Román; Fröb. Markus Benjamin |
| Idioma: | Español |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7926_Palau |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n7926_Palau.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n7926_Palau |
| Ubicación: | FIS 007926 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Palau, Gabriel Alexis. (2026). Aplicaciones de la teoría de Tomita Takesaki en teoría cuántica de campos. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7926_Palau |
Resumen:
La teoría modular de Tomita-Takesaki es una herramienta matemática notable a la hora de poner un marco riguroso a la formulación de la teoría de campos. En la presente tesis abordaremos el estudio de tres tópicos desde la perspectiva que ella provee. Nuestro marco teórico será el de la teoría cuántica de campos algebraica, en donde, según veremos, a cada región del espaciotiempo se le asocia un álgebra de observables. El primero de ellos, la dualidad de Haag, es una propiedad satisfecha por ciertas teorías de campos, que establece que el conmutante del álgebra de observables localizados en una región del espacio-tiempo es exactamente el álgebra asociada a la región causalmente desconectada. Esta condición tiene implicaciones directas sobre las medidas de entrelazamiento, y fue demostrada por primera vez para el campo escalar libre en diamantes causales por Araki en 1964. Posteriormente, Eckmann y Osterwalder utilizaron la teoría modular de Tomita-Takesaki para dar una demostración directa de esta propiedad. En esta tesis presentaremos los resultados de Araki de manera rigurosa y accesible, mostrando cómo se enuncia la dualidad de Haag en las formulaciones de Segal y Weyl, tanto en la primera como en la segunda cuantización. Esto nos permite comprender el marco de la prueba de Eckmann y Osterwalder. Nuestra contribución principal radica en una simplificación de dicha prueba, utilizando el adjunto S* del operador de Tomita S, en lugar de introducir varios operadores auxiliares. Luego pasamos al estudio de un estado termal. Para el mismo realizamos varios cálculos innovadores. Por ejemplo, la entropía relativa de Araki asociada a un intervalo acotado I = (a, b) entre un estado termal y una excitación coherente de éste en el modelo de corriente U(1) bosónica, también conocido como el bosón quiral (derivada del mismo). Revisamos algunos resultados recientes sobre la entropía de subespacios estándar y sobre la entropía relativa de estados no puros, como los estados termales. Con antelación, Bostelmann, Cadamuro y Del Vecchio obtuvieron la entropía relativa a temperatura finita para el intervalo no acotado (−∞, t), utilizando resultados previos de Borchers y Yngvason. Nosotros encontramos una rotación unitaria que nos permite aprovechar todas las simetrías de PSL(2, R), obteniendo así el grupo modular, el hamiltoniano modular y la entropía relativa S de un intervalo acotado a temperatura finita. Esta entropía relativa implica tanto una cota tipo Bekenstein como una cota similar a la QNEC, aunque viola S'' ≥ 0 (derivada respecto a la longitud del intervalo, con su centro fijo). Extendemos estos resultados al caso del bosón libre sin masa en 1 + 1 dimensiones, obteniendo cotas análogas. Para finalizar, y dado que el cálculo de la entropía relativa al que acabamos de hacer referencia requirió develar la evolución modular asociada al estado termal en regiones tipo diamante en 1 + 1 dimensiones, nos abocamos al estudio de la conjugación modular asociada a estados KMS sobre regiones de tipo wedge de Rindler, y su relación con la conjugación modular del estado de vacío. Con esto terminaremos por determinar ambos operadores modulares asociados a los estados KMS geométricos, y además nos permite entender más cabalmente lo que usualmente se suele llamar el “second world.”
Abstract:
Tomita–Takesaki modular theory is a remarkable mathematical tool for providing a rigorous framework for the formulation of quantum field theory. In this thesis, we address the study of three topics from the perspective it offers. Our theoretical framework will be that of algebraic quantum field theory, where, as we shall see, an algebra of observables is associated with each region of spacetime. The first of these topics, Haag duality, is a property satisfied by certain quantum field theo- ries, which states that the commutant of the algebra of observables localized in a spacetime region is exactly the algebra associated with the causally disconnected region. This condition has direct implications for measures of entanglement and was first proven for the free scalar field in causal diamonds by Araki in 1964. Subsequently, Eckmann and Osterwalder used Tomita–Takesaki modular theory to give a direct proof of this property. In this thesis, we present Araki’s results in a rigorous and accessible manner, showing how Haag duality is formulated in both the Segal and Weyl frameworks, in both first and second quantization. This allows us to understand the framework of the proof by Eckmann and Osterwalder. Our main contribution lies in a simplification of this proof, using the adjoint S∗ of the Tomita operator S, instead of introducing several auxiliary operators. We then turn to the study of a thermal state, for which we perform several novel calculations. For example, we compute Araki’s relative entropy associated with a bounded interval I = (a, b) between a thermal state and a coherent excitation thereof in the U(1) bosonic current model, also known as the chiral boson (its derivative). We review some recent results on the entropy of standard subspaces and on the relative entropy of non-pure states, such as thermal states. Previously, Bostelmann, Cadamuro, and Del Vecchio obtained the relative entropy at finite temperature for the unbounded interval (−∞, t), using earlier results by Borchers and Yngvason. We find a unitary rotation that allows us to exploit all the symmetries of PSL(2, R), thereby obtaining the modular group, the modular Hamiltonian, and the relative entropy S for a bounded interval at finite temperature. This relative entropy implies both a Bekenstein-type bound and a bound similar to the QNEC, although it violates S ′′≥ 0 (where the derivative is taken with respect to the length of the interval, with its center fixed). We extend these results to the case of the free massless boson in 1+1 dimensions, obtaining analogous bounds. Finally, since the computation of the relative entropy mentioned above required uncovering the modular evolution associated with the thermal state in diamond-shaped regions in 1+1 dimensions, we study the modular conjugation associated with KMS states on Rindler wedge regions, and its relation to the modular conjugation of the vacuum state. In doing so, we fully determine both modular operators associated with geometric KMS states, and this also allows for a clearer understanding of what is usually referred to as the “second world.”
Citación:
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Palau, Gabriel Alexis. (2026). Aplicaciones de la teoría de Tomita Takesaki en teoría cuántica de campos. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7926_Palau
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Palau, Gabriel Alexis. "Aplicaciones de la teoría de Tomita Takesaki en teoría cuántica de campos". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2026.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7926_Palau
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