Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Título: | Métodos topológicos en ecuaciones funcionales |
| Título alternativo: | Topological methods for functional equations |
| Autor: | Epstein, Julián |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Filiación: | Universidad de Buenos Aires - CONICET. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló" (IMAS)
|
| Publicación en la Web: | 2023-07-03 |
| Fecha de defensa: | 2022-08-01 |
| Fecha en portada: | 2022 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas |
| Director: | Amster, Pablo Gustavo |
| Consejero: | Sánchez Fernández de la Vega, Constanza Mariel |
| Jurado: | Ortega, Rafael; Federson, Márcia; Vélez, Carlos |
| Idioma: | Español |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7315_Epstein |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n7315_Epstein.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n7315_Epstein |
| Ubicación: | Dep.MAT 007315 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Epstein, Julián. (2022). Métodos topológicos en ecuaciones funcionales. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7315_Epstein |
Resumen:
La tesis que se presenta está enfocada en el estudio de ecuaciones diferenciales funcionales no lineales. Es decir ecuaciones de la forma. Lpxq (1) Npxq donde L es un operador diferencial y N es un operador no lineal que depende de toda la función x. Estos operadores están definidos en espacios de Banach, cuya elección depende del tipo de problemas que se quiera estudiar. Reformulando las ecuaciones como un problema de punto fijo, es posible obtener resultados de existencia utilizando el grado topológico de Leray-Schauder. Concretamente, los siguientes problemas fueron considerados en esta tesis: 1) Un sistema de ecuaciones diferencia/en diferencias. El sistema consta de dos ecuaciones, la primera es una ecuación diferencial con retardo y la segunda es una ecuación funcional no diferencial (no involucra derivadas de las funciones incognitas) también con retardos temporales. Este sistema proviene del estudio de poblaciones celulares estructuradas por edades y tiene importantes aplicaciones en la hematopoyesis y el estudio general de la dinámica sanguínea. El sistema de ecuaciones es una versión no autónoma del estudiado en [6]. Se prueba existencia de soluciones periódicas utilizando el grado topológico. Se analiza la estabilidad de las soluciones mediante una comparación con el caso autónomo. Por último, se establece un teorema de continuación que muestra la relación que guardan las soluciones periódicas del caso no autónomo con los equilibrios (constantes) del caso autónomo. 2) Un sistema abstracto de ecuaciones en resonancia. Se establece un resultado de existencia de soluciones periódicas del cual pueden obtenerse, como casos particulares, el conocido resultado de Lazer y Leach [38], así como muchas de sus extensiones: sistemas con condiciones de tipo Nirenberg, ecuaciones con retardo, etc. 3) Una versión abstracta de un resultado de afinidad de Krasnoselskii [36]. Los resultados de afinidad conectan el grado topológico de distintos operadores asociados a la misma ecuación. Un resultado de esta índole es presentado y se muestran múltiples ejemplos de aplicación que incluyen EDOs, EDDs y EDPs. 4) Una versi ́on abstracta del lema de Gronwall. Se presenta un resultado que recupera sobre espectros de operadores en latices de Banach, del cual se recupera el conocido le de Gronwall. Se deduce un resulto de unicidad para una amplia gama de ecuaciones emulando el cl ́asico resultado de unicidad para ODE’s.
Abstract:
The thesis is focused on the study of nonlinear functional diferential equations of the form Lpxq “ Npxq where L is an unbounded linear operator and N is nonlinear. These operators are defined on appropriate subsets of Banach spaces, the choice of which depends on the type of equations and boundary conditions that are considered. Writing the equations as a fixed point problem, various existence results are obtained by means of the Leray-Schauder topological degree. Specifically, the following problems are considered: 1) A system of two scalar delayed equations, a differential equation of first order combined with a functional non-differential one. This system is a non autonomous version of a problem arising on an age-structured population dynamics model for hematopoyetic steam cells. The existence of periodic solutions is proven using topological degree methods. A stability result is also obtained by comparing the solutions with those of the autonomous case. Finally, a result is established relating the periodic solutions of the non-autonomous system with the equilibra of the autonomous case. 2) An abstract theorem for resonant equations is presented. As particular cases, the well known Lazer and Leach result is deduced, as well as delayed versions of it, systems with Nirenberg type conditions, etc. 3) An abstract version of a result by Krasnoselskii is established for a wide variety of functional equations. The result yields a connection between the topological degree of different fixed point operators associated to the same equation. Several aplications are presented for equations including ODEs, DDEs and PDEs. 4) An abstract version of the Gronwall lemma is introduced, stated in terms of the spectral properties of operators in Banach Latices. This allows to deduce a general uniqueness result, which is applicable to a wide range of problems.
Citación:
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Epstein, Julián. (2022). Métodos topológicos en ecuaciones funcionales. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7315_Epstein
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Epstein, Julián. "Métodos topológicos en ecuaciones funcionales". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2022.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7315_Epstein
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