Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Título: | Muestreo : bases de Riesz de exponenciales, operadores que conmutan con las traslaciones y muestreo dinámico |
| Título alternativo: | Sampling : Riesz bases of exponentials, shift-preserving operators and dynamical sampling |
| Autor: | Carbajal, Diana Agustina |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Publicación en la Web: | 2022-03-29 |
| Fecha de defensa: | 2020-05-13 |
| Fecha en portada: | 2021 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas |
| Departamento Docente: | Departamento de Matemáticas |
| Director: | Cabrelli, Carlos Alberto |
| Consejero: | Molter, Úrsula María |
| Jurado: | Bownik, Marcin; Stojanov, Demetrio; Carando, Daniel |
| Idioma: | Español |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6807_Carbajal |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n6807_Carbajal.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n6807_Carbajal |
| Ubicación: | MAT 006807 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Carbajal, Diana Agustina. (2021). Muestreo : bases de Riesz de exponenciales, operadores que conmutan con las traslaciones y muestreo dinámico. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6807_Carbajal |
Resumen:
[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original] En esta tesis se estudian tres problemas cuya motivación tiene origen en la teoría del muestreo. El problema del muestreo consiste en obtener condiciones para que una señal pueda ser reconstruida a partir de muestras (evaluaciones o promedios) sobre un subconjunto discreto de su dominio. El espacio más clásico donde se suele estudiar este problema es el de funciones de Paley-Wiener o también conocido como el espacio de funciones de banda limitada. Dado un conjunto Ω ⊂ R^d compacto, el espacio de Paley-Wiener PWΩ consiste en aquellas funciones de L^2 (R^d) cuya transformada de Fourier se anula en casi todo punto afuera del conjunto Ω. Un conjunto discreto Γ ⊂ R^d se dice que es de muestreo e interpolación para PWΩ si satisface que para toda sucesión {cγ}γ∈Γ ∈ l^2(Γ) existe una única función f ∈ PWΩ que satisface que f(γ) = cγ para todo γ ∈ Γ. Es bien sabido que el problema de la existencia de un conjunto de muestreo e interpolación para PWΩ es equivalente al problema de existencia de bases de Riesz de exponenciales E(Γ) = {e−2πiγω : γ ∈ Γ} de L^2(Ω). La existencia de bases de Riesz de exponenciales para un dominio en R^d es un problema muy desafiante que tiene interés por sí mismo, es hasta hoy en día muy estudiado y aun mantiene muchas preguntas abiertas. Motivados por este problema, una de las contribuciones de esta tesis es probar la existencia de bases de Riesz de exponenciales de L^2(Ω), donde Ω ⊂ R^d es un conjunto medible de medida finita, no necesariamente acotado, que multi-tesela R^d y que satisface una propiedad aritmética que llamamos admisibilidad. También encontramos una generalización de estos resultados para conjuntos que submulti-teselan R^d y marcos de exponenciales. Otro problema de gran interés dentro de la teoría del muestreo es el del muestreo dinámico. En muchas aplicaciones, incluso si tuviéramos un conjunto de muestreo apropiado para nuestras señales, podríamos tener que lidiar con problemas de acceso limitado a ciertos lugares donde se deben tomar mediciones. La idea del muestreo dinámico es esquivar estos problemas reduciendo el número de muestras en el espacio y considerando en su lugar un conjunto de muestras espacio-temporales. Esto se hace bajo la suposición de que las señales evolucionan en el tiempo bajo la acción de un operador de evolución. En esta tesis resolvemos un problema del muestreo dinámico para una clase de operadores de evolución L : V → V que conmutan con las traslaciones sobre un reticulado H ⊂ R^d (operadores H-conmutantes), actuando en un espacio V ⊂ L^2 (R^d) invariante por traslaciones sobre H (espacio H-invariante) y finitamente generado. Encontramos condiciones sobre L y un conjunto finito de funciones de V para que las iteraciones del operador L sobre estas funciones produzcan un conjunto generador de marco de V. Para lograr este fin, antes debemos estudiar la estructura de los operadores H-conmutantes con gran profundidad. Para ello, definimos una nueva noción de diagonalizacion, que denominamos H-diagonalizacion. Esta se trata de una descomposición del espacio subyacente V en subespacios H-invariantes, cada uno invariante por el operador en cuestión, sobre los cuales el operador adquiere una forma muy simple que consiste en combinaciones lineales de traslaciones. Encontramos condiciones necesarias y suficientes para que un operador H-conmutante acotado sea H-diagonalizable. Estas condiciones se obtienen en términos de la función rango asociada al espacio H-invariante y el operador rango asociado al operador H-conmutante. En particular, probamos una generalización del Teorema Espectral para ciertos operadores H-conmutantes, normales y acotados. Finalmente, presentamos una generalización de esta descomposición para operadores que actúan en espacios invariantes por la acción de un grupo Γ que es el producto semi-directo entre un reticulado H y un grupo discreto de automorfismos. En este caso, suponemos que los operadores conmutan con la representación unitaria de la acción de Γ. Esta generalización es muy relevante para las aplicaciones ya que esta clase de grupos incluye a los grupos cristalográficos que se separan, que son muy utilizados dentro de la teoría del procesamiento de imágenes.
Abstract:
[approximate formulas, review them in the original] In this thesis we study three problems whose origins are motivated from the sampling theory. The sampling problem consists in finding conditions under which a signal be reconstructed from its samples (evaluations or averages) over a discrete subset of its domain. The most classical space where this problem is studied is the Paley-Wiener space, also known as the space of band-limited functions. Given a compact set Ω ⊂ R^d, the Paley-Wiener space PWΩ consists of such functions of L^2 (R^d) whose Fourier transform vanishes almost everywhere outside of Ω. A discrete set Γ ⊂ R^d is called a sampling and interpolation set for PWΩ if it satisfies that for every sequence {cγ}γ∈Γ ∈ l^2(Γ) there exists a unique function f ∈ PWΩ such that f(γ) = cγ for every γ ∈ Γ. It is well known that the problem of existence of a set of sampling and interpolation for PWΩ is equivalent to the problem of existence of Riesz bases of exponentials E(Γ) = {e−2πiγω : γ ∈ Γ} of L^2(Ω). The existence of Riesz bases of exponentials for a domain in R^d is a very challenging problem which has its own interest, it is today very active and still many questions remain open. Motivated by this problem, one of the contributions of this thesis is to prove the existence of Riesz bases of exponentials of L^2(Ω), provided that Ω ⊂ R^d is a measurable set of finite measure, not necessarily bounded, that multi-tiles R^d and satisfies an arithmetic property that we call admissibility. We also find a generalization of this result to submulti-tiling sets and frames of exponentials. Another interesting problem within the sampling theory is the dynamical sampling problem. In many applications, even if we have an appropriate sampling set for our signals, we might have to deal with issues of limited access to some of the places where the measures must be taken. The idea of dynamical sampling is to avoid these problems by reducing the number of sampling positions and considering a set of space-time samples instead. This is done under the assumption that the signals evolve over time through the action of an evolution operator. In this thesis we solve a problem of dynamical sampling for a class of evolution operators L : V → V which commute with the translations over a lattice H ⊂ R^d (H-preserving operators), acting on a shift-invariant space V ⊂ L^2(R^d) under translations in H (H-invariant) which is finitely generated. We find conditions over L and a finite set of functions of V under which the iterations of the operator L over these functions produce a frame generator set of V. To this end, we must first thoroughly study the structure of the H-preserving operators. For this, we define a new notion of diagonalization, which we call H-diagonalization. This is a decomposition of the underlying space V into H-invariant subspaces, each of them invariant for the operator, and over which the operator adopts a very simple form that consists of linear combinations of translations. We find necessary and sufficient conditions on a bounded H-preserving operator in order to be H-diagonalizable. These conditions are obtained in terms of the range function associated to the H-invariant space and the range operator associated to de H-preserving operator. In particular, we prove a generalized Spectral Theorem for certain bounded, normal, H-preserving operators. Finally, we present a generalization of this decomposition for operators that act on spaces which are invariant under the action of a group Γ that is the semi-direct product of a lattice H and a discrete group of automorphisms. In this case, we assume that the operators commute with a unitary representation of the action of Γ. This setting is very relevant for applications since this class of groups includes the crystal groups that split, which are commonly used in the theory of image processing.
Citación:
---------- APA ----------
Carbajal, Diana Agustina. (2021). Muestreo : bases de Riesz de exponenciales, operadores que conmutan con las traslaciones y muestreo dinámico. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6807_Carbajal
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Carbajal, Diana Agustina. "Muestreo : bases de Riesz de exponenciales, operadores que conmutan con las traslaciones y muestreo dinámico". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2021.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6807_Carbajal
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