Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Título: | Certificados polinomiales de no negatividad sobre conjuntos semialgebraicos cilíndricos |
| Título alternativo: | Non-negativity polynomial certificates over cylindrical semialgebraic sets |
| Autor: | Escorcielo, Paula Micaela |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Filiación: | Universidad de Buenos Aires - CONICET. Instituto de Investigaciones Matemáticas "Luis A. Santaló" (IMAS)
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| Publicación en la Web: | 2022-03-29 |
| Fecha de defensa: | 2020-11-05 |
| Fecha en portada: | 2020-11-05 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas |
| Director: | Perrucci, Daniel |
| Jurado: | Bonomo, Flavia; Schweighofer, Markus; Solernó, Pablo Luis |
| Idioma: | Español |
| Palabras clave: | CERTIFICADOS DE NO NEGATIVIDAD; SUMAS DE CUADRADOS; POSITIVSTELLENSATZ; COTAS DE GRADONON-NEGATIVITY CERTIFICATES; SUMS OF SQUARES; POSITIVSTELLENSATZ; DEGREE BOUNDS |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6751_Escorcielo |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n6751_Escorcielo.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n6751_Escorcielo |
| Ubicación: | Dep.MAT 006751 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Escorcielo, Paula Micaela. (2020). Certificados polinomiales de no negatividad sobre conjuntos semialgebraicos cilíndricos. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6751_Escorcielo |
Resumen:
Dados g1, . . . , gs ∈ R[X ̄] = R[X1, . . . , Xn], S ⊂ R^n el conjunto semialgebraico cerrado básico definido por S = {x ̄ ∈ R^n| g1( ̄x) ≥ 0, . . . , gs( ̄x) ≥ 0} [fórmula aproximada, revisar la misma en el original] y f ∈ R[X ̄] un polinomio que resulta no negativo en S, un problema clásico es buscar una igualdad algebraica que ponga en evidencia ese hecho. Dicha igualdad se denomina certificado de no negatividad de f en S. En esta tesis estudiamos certificados de no negatividad sobre conjuntos semialgebraicos cilíndricos no compactos. En la primera parte, consideramos conjuntos de la forma S × R con S ⊂ R^n semialgebraico cerrado básico y demostramos que el Putinar Positivstellensatz puede extenderse, bajo una hipótesis adicional, a conjuntos de la forma S × R. Además, presentamos una cota para el grado de cada término de la representación obtenida. En la segunda parte, consideramos el caso de polinomios no negativos sobre una franja de R^2. Dado f ∈ R[X, Y] no negativo en el conjunto semialgebraico [0, 1]×R (definido por la desigualdad X(1−X) ≥ 0), se sabe que f se puede reescribir como f = σ0 + σ1X(1 − X) con σ0, σ1 ∈ Σ R[X, Y ]^2. En este trabajo estudiamos la existencia de cotas de grado para cada término de dicha reescritura en los casos degY f ≤ 2 y f positivo en [0, 1]×R. Para este último caso, presentamos un método constructivo para obtener dicha reescritura, que puede extenderse al caso f no negativo en [0, 1] × R, pero con finitos ceros simples y todos en el borde.
Abstract:
Given g1, . . . , gs ∈ R[X ̄] = R[X1, . . . , Xn], S ⊂ R^n the basic closed semialgebraic set defined by S = {x ̄ ∈ R^n| g1( ̄x) ≥ 0, . . . , gs( ̄x) ≥ 0} [fórmula aproximada, revisar la misma en el original] and a polynomial f ∈ R[X ̄] which is non-negative on S, a classical problem is to look for an algebraic identity which makes evident this fact. Such an identity is called a certificate of non-negativity of f over S. In this thesis we study certificates of non-negativity over semialgebraic non-compact cylindrical sets. In the first part, we consider sets of type S × R with S ⊂ R^n a basic closed semialgebraic set and we prove, under an additional hypothesis, that Putinar Positivstellensatz can be extended to sets of type S × R. In addition, we present a degree bound for the terms in the representation. In the second part, we consider the case of polynomials non-negative on a strip in R^2. Given f ∈ R[X, Y] non negative on the semialgebraic set [0, 1] × R (defined by the inequality X(1 − X) ≥ 0), it is known that f can be written as f(X, Y ) = σ0 + σ1X(1 − X) with σ0, σ1 ∈ Σ R[X, Y ]^2. In this work, we study the existence of degree bounds for each term in this representation in the cases degY f ≤ 2 and f positive on [0, 1]×R. For this last case, we present a constructive method to obtain this representation, which can be extended to the case of f non-negative on [0, 1] × R, with at most a finite number of simple zeros, all of them lying on the boundary.
Citación:
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Escorcielo, Paula Micaela. (2020). Certificados polinomiales de no negatividad sobre conjuntos semialgebraicos cilíndricos. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6751_Escorcielo
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Escorcielo, Paula Micaela. "Certificados polinomiales de no negatividad sobre conjuntos semialgebraicos cilíndricos". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2020.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6751_Escorcielo
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