Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Título: | Existencia de soluciones para un problema de Scrhödinger-Poisson |
| Título alternativo: | Existence of solutions for a SchrÖdinger-Poisson problem |
| Autor: | De Leo, Mariano Fernando |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Publicación en la Web: | 2024-08-06 |
| Fecha de defensa: | 2006 |
| Fecha en portada: | 2006 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas |
| Departamento Docente: | Departamento de Matemáticas |
| Director: | Rial, Diego Fernando; Mariani, Cristina |
| Idioma: | Español |
| Palabras clave: | SCHRODINGER-POISSON; ESTADOS FUNDAMENTALES; HIPOTESIS DE NEUTRALIDAD; BUEN PLANTEO; LEYES DE CONSERVACION; EFECTO REGULARIZANTEGROUND STATES; NEUTRALITY ASSUMPTION; WELL-POSEDNESS; CONSERVATION LAWS; SMOOTHING EFFECT |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3960_DeLeo |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n3960_DeLeo.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n3960_DeLeo |
| Ubicación: | MAT 003960 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. De Leo, Mariano Fernando. (2006). Existencia de soluciones para un problema de Scrhödinger-Poisson. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3960_DeLeo |
Resumen:
En este trabajo tomaremos en cuenta el problema de Cauchy para la ecuación de Schrödinger–Poisson i∂tu = −∂2x u + V(u) u − f (|u|2) u , donde f representa una interacción local no lineal (tomaremos en cuenta tanto el caso repulsivo f > 0 como el caso atractivo f < 0), V es la solución particular de la ecuación de Poisson dada por: V = 1/2 |x| C−|u|2 y C 2 C1 c es el perfil de dopaje, o las impurezas. Demostraremos que el problema está localmente bien planteado en los espacios de Sobolev H := {' 2 Hs(R) : R (1+ x2)1/2 |'|2 < 1}, cualquiera sea s 1; ello significa: existencia local, unicidad y continuidad de la solución con respecto al dato inicial. A continuación, introducimos un funcional de energía y exhibimos algunas leyes de conservación que nos permitirán obtener estimaciones a priori. En el caso atractivo, tales estimaciones son válidas para f 2 C1; no obstante, en el caso repulsivo f > 0 asumiremos que el exponente de f es subcrítico. De estas hipótesis sobre f , tales estimaciones permiten demostrar la existencia de soluciones globales. Pasamos, luego, a un problema variacional y mostramos que la restricción de la energía a una esfera de L2 tiene un mínimo en H siempre que el radio no supere un valor crítico; más aún, demostramos que para radios mayores que el valor crítico la energía no está acotada inferiormente. Luego mostramos que tanto en el caso crítico como en el subcrítico el mínimo resulta ser un estado fundamental para el problema de Cauchy (dado que los estados fundamentales permiten construir soluciones globales tendremos que hacer las mismas consideraciones sobre el exponente de f ). Además demostramos que el valor crítico está dado por la carga total de las impurezas e incluimos una breve discusión acerca de la relevancia física que tiene este fenómeno. Finalmente, retomamos el problema de evolución y mostramos que para s 1 la solución presenta un efecto regularizante que es local en el espacio y en el tiempo; más precisamente, en este problema la solución gana, localmente en el espacio y en el tiempo, media derivada.
Abstract:
In this work we take under consideration the Cauchy problem for the Schrödinger– Poisson type equation i∂tu = −∂2x u + V(u) u − f (|u|2) u , where f represents a local nonlinear interaction (we take into account both attractive and repulsive models), V is taken as a suitable solution of the Poisson equation : V = 1/2 |x| C − |u|2 , C 2 C1 c is the doping profile, or impurities. We show that this problem is locally well posed in the weighted Sobolev spaces H := Hs(R) \\ L2μ (R) for all s 1, where L2μ (R) := {' 2 L2(R) : R μ(x) |'|2 < 1} and μ(x) := (1 + x2)1/2, which means : local existence, uniqueness and continuity of the solution with respect to the initial data. We then introduce a well defined energy functional and show some conservation laws which leads to a priori estimates that are valid for f 2 C1 in the attractive case ; however, if f > 0 such estimates are valid by assuming the exponent of f is subcritical. So, under suitable assumptions on f , we use this estimates to show the existence of global solutions. We turn to a variational problem and show that the restriction of E to a sphere in L2 has attainable minimum which belong to H1\\L2μ provided the radius not exceed some critical value; moreover, it is shown that for values of the radius greater than this critical value, energy is not bounded from below. We then show that both in the critical and subcritical instances the minimum is a ground state of the Cauchy problem (since, ground states yield global solutions same assumptions on f shall be made). In addition, we show that this critical value is the total charge given by the impurities, and we briefly discuss the physical relevance of this phenomenon. Finally, and resuming the evolution problem, we establish that for s 1 local in time and space smoothing effects are present in the solution ; more precisely, in this problem there is locally a gain of half a derivative.
Citación:
---------- APA ----------
De Leo, Mariano Fernando. (2006). Existencia de soluciones para un problema de Scrhödinger-Poisson. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3960_DeLeo
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De Leo, Mariano Fernando. "Existencia de soluciones para un problema de Scrhödinger-Poisson". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2006.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3960_DeLeo
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