Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Disciplina: | matematica |
| Título: | Inmersión de espacios métricos convexos en espacios euclideanos |
| Autor: | Toranzos, Fausto Alfredo |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Filiación: | Departamento de Matemática
|
| Publicación en la Web: | 2017-11-06 |
| Fecha de defensa: | 1966 |
| Fecha en portada: | 1966 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor en Ciencias Matemáticas |
| Director: | Santaló Sors, Luis Antonio |
| Idioma: | Español |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1279_Toranzos |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n1279_Toranzos.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n1279_Toranzos |
| Ubicación: | Dep.001279 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Toranzos, Fausto Alfredo. (1966). Inmersión de espacios métricos convexos en espacios euclideanos. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1279_Toranzos |
Resumen:
Una parte considerable del tratado "Theory and Applicationsof Distance Geometry" (Oxford, 1953) de L. M. Blumenthal, estádedicada a la consideración del siguiente problema genérico: Problema I: "Dado un espacio métrico "modelo" M, fijar condicionesen la métrica de un espacio E que permitan asegurar la existencia de una isometría f : E--->M". Un caso particular, pero importante, de este problema es: Problema II: "Idem que en Problema I, pero pidiendo que la aplicaciónf sea suryectiva". Los casos concretos más importantes de estos problemas sepresentan cuando el modelo M es el espacio euclideano n-dimensional E^n o el espacio de Hilbert H, y el espacio a estudiar es (métricamente)convexo. En estos casos, el libro de Blumenthal resuelveexhaustivamente el problema II. En cambio en el problema I,que como el mismo Blumenthal lo destaca en la página 91 del citadolibro es más general y difícil que el II, solo obtiene solucionesparciales y poco satisfactorias. El propósito central de esta tesis es dar solución completaal problema I en los casos concretos antes mencionados. Un segundo propósito, de tipo metodológico, es desarrollar una teoría de subconjuntosconvexos de un espacio métrico, de eficacia análoga ala de la convexidad lineal. El primer capítulo consiste en una reseña de los antecedenteshistóricos del problema central y las soluciones parciales querecibió. En el segundo capítulo discutimos las interrelaciones de diversasdefiniciones de convexidad de espacios métricos, e introducimosuna definición de subconjunto convexo de un espacio métrico,que conserva la más importante característica de la convexidad lineal,su interseccionalidad. Esto nos permite desarrollar en el siguiente capítulo unateoría de cápsula convexa análoga a la del caso lineal. Incidentalmentecaracterizamos los espacio métricos cuyas bolas son convexasmediante la propiedad de que el diámetro de un conjunto arbitrariocoincide con el de su cápsula convexa. El cuarto capítulo es una discusión detallada de la "propiedad euclideana débil de cuatro puntos" de Blumenthal, así como de otras propiedades más débiles que ésta, pero que, en los casos significativos coinciden con ella. En los capítulos quinto y sexto se desarrollan las herramientas básicas para atacar los problemas fundamentales. Se estudianaquí los conceptos de "cápsula afín" (análogo al de variedad lineagenerada), "espacio de tipo n" (análogo al de dimensión algebraica "Simplex", etc. El concepto de "punto internal" es introducido en el capítuloséptimo. La importancia de esta noción reside en que una de ladiferencias metodológicas entre este trabajo y los de Blumenthalconsiste en que dicho autor exige al espacio en estudio la "convexidadexterna", que en nuestra terminología equivale a pedirque todo punto sea internal, restringiéndose a priori al problema II. Los resultados centrales de este capítulo son:(a) Equivalenciaentre "tipo n" y "dimensión topológica n" (según Menger Urysohn); (b) Versión métrica del famoso teorema de Riesz sobrecaracterización de espacios normados finito-dimensionales, porla compacidad local. En el capítulo octavo obtenemos nuestro primer teorema fundamentalque responde al problema I cuando el modelo M es E^n. Elprocedimiento es el siguiente : (i) Definimos la noción de "funcional afín", análogo al de funcionallineal en un espacio vectorial. (ii) Bajo ciertas condiciones, una determinada familia de funcionalesafines, dotada de las operaciones puntuales, es un espacio vectorial de dimensión n. (iii) El dual algebraico del espacio considerado en (iii), provistode una métrica conveniente, es congruente con E^n. (iv) Procediendo como en el Análisis Funcional (inyección en eldoble dual) podemos construir una isometría del espacio originalen el espacio métrico mencionado en (iii). El resto de este capítulo consiste en varios corolarios y refinamientosdel teorema fundamental. En el capítulo noveno investigamos en concepto de "subespaciode deficiencia l" análogo al de hiperplano de un espacio vectorial,y sus conexiones con las funcionales afines y los "planosde Leibniz". En el capítulo décimo estudiamos (en tres diferentes instancias)la posibilidad de extender a todo el espacio una isometríadefinida en un subconjunto. Utilizamos luego estos lemas para obteneruna nueva demostración del teorema del capítulo VIII, y unsegundo teorema fundamental en que fijamos condiciones para queel espacio dado sea isométrico a un subconjunto de H. Finalmente, en el último capítulo introducimos la noción de "espacio perfectamente estrellado", que generaliza ampliamente ala de espacio convexo, y extendemos a tales espacios los resultadosde los capítulos VIII y X. El método es predominantemente geométrico, y las principalesherramientas son la propiedad de Blumenthal y la teoria de convexidad.
Citación:
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Toranzos, Fausto Alfredo. (1966). Inmersión de espacios métricos convexos en espacios euclideanos. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1279_Toranzos
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Toranzos, Fausto Alfredo. "Inmersión de espacios métricos convexos en espacios euclideanos". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 1966.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1279_Toranzos
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