Resumen:
Como se sabe Calderon y Zygmund probaron que las transformadasn-dimensionales de Hilbert H=Hf poseen las propiedades siguientes 1) H es continua Lp → Lp para todo 1 < p < ∞ 2) Para el extremo p = 1 no hay continuidad pero vale el llamadotipo debil (1,1). Este resultado fundamental recibio los complementos siguientes: a) E. Stein mostro que 1) vale todavia con medida ponderada x adx;mas aun, el probo que esto vale para las integrales singularesgenerales estudiadas por Calderon-Zygmund. b) Benedek-Calderon-Panzone, en su trabajo de 1962, probaron que 1)vale con normas mixtas ǁfǁpl,...,pn = ǁfǁP c) Para integrales dobles o iteradas de Hilbert vale la propiedad 1)pero segun mostro E. Stein (en su trabajo del Annals of Math. ,1961)la propiedad 2) no vale para transformadas iteradas. En a) E. Stein dejo de lado la cuestion de tipo debil en la punta p=1,y sus razonamientos no se aplican a este caso. Por otra parte en b) nose consideran medidas ponderadas, es decir falta la combinacion de a)con b). Nos parecio pues que para la armonia de la teoria convendria completarlas tres cuestiones siguientes: extender a) para p=1 y tipo debil;extender este teorema de Stein para normas mixtas; y finalmente dar algunsustituto de 2) en el caso de integrales iteradas. Con una modificacion esencial en los razonamientos de Stein extendemosel teorema a) al extremo p=1. Ademas damos una nueva demostracion simplificadadel teorema a) que permite extenderlo a normas mixtas, quedandoasi completadas las dos primeras cuestiones. En cuanto a la tercera, nos parecio natural introducir una nocionmas general de tipo debil, que llamamos tipo magro, de modo que lastransformadas dobles presenten tipo magro en la punta p=1. Para queesta nocion sea de alguna utilidad hay que exigir que para la mismavalga algun teorema del tipo de Marcinkiewicz. Para la definicion detipo magro que damos vale un teorema de interpolacion pero que no esuna generalizacion completa del de Marcinkiewicz pues la hipotesisdebe verificarse en 4 puntas en vez de las 2 clasicas. Estas cuestiones y otras similares para operadores potenciales nosllevaron a la necesidad de considerar la nocion de tipo debil connormas mixtas y la interpolacion correspondiente. Como se sabe el estudiosistematico de los espacios Lp con normas mixtas fue hecho en untrabajo de Benedek-Panzone en l960(seguido por un trabajo con Calderony la tesis de Benedek), donde ellos estudian las cuestiones relativasal tipo fuerte con normas mixtas. Pero como estos autores no han considerado el caso de tipo debil, nosvimos en la necesidad de abordar el problema de interpolacion con tiposdebiles y normas mixtas. Este problema parece presentar dificultadesserias y solo hemos considerado algunos aspectos mas simples del mismo,en caso de normas mixtas se presentan por lo menos 5 definiciones naturales de tipo debil que llamamos semidebil, debil, debil, debil vectorialy magro. El tipo debil es el unico que se reduce al tipo debilordinario si P=(p1,p2) con p1=p2. Contrariamente a lo que ocurre enel caso del tipo fuerte, la definicion vectorial es la mas alejada dela definicion ordinaria. El tipo magro es el mas general de todos. Logramos extender el teorema de Marcinkiewicz para el tipo semi debil; damostambien una extension para el tipo debil o debil pero con condicionesadicionales restrictivas. Ademas reducimos el problema de la interpolacioncon tipos debiles (sin las condiciones adicionales) al problemacorrespondiente con tipos vectoriales. Finalmente, como ya dijimos,damos tambien un teorema de interpolacion para tipos magros, perono generaliza el teorema clasico porque exige la hipotesis en 4 puntas. Aplicando estos teoremas de interpolacion completamos las cuestionesarriba mencionadas y otras similares para operadores potenciales, delas cuales citaremos la siguiente. Como se sabe, el teorema de Sobolev Ilin afirma que la restriccion Hɤ,n/m del operador potencial Hɤ,na Em < En es de tipo (p,s) con l/p - m/n.l/s = ɤ/n. El teorema deinterpolacion con normas mixtas permite dar la siguiente generalizacion Hɤ,n/m es de tipo (q,p) → S, si l/p - m/n.l/s = ɤ/nl/q - m / n-m . l/s = ɤ-m/n-m, asi como otras propiedades de tipo de bil o magro.
Citación:
---------- APA ----------
Ballester Ubeda de Pereyra, Concepción. (1963). Sobre la continuidad débil y magra en Lp (Lq) y su aplicación a operadores potenciales. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1168_BallesterUbedadePereyra
---------- CHICAGO ----------
Ballester Ubeda de Pereyra, Concepción. "Sobre la continuidad débil y magra en Lp (Lq) y su aplicación a operadores potenciales". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 1963.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1168_BallesterUbedadePereyra
Estadísticas:
Descargas totales desde :
Descargas mensuales
https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n1168_BallesterUbedadePereyra.pdf
