Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Título: | Geometría de Finsler de grupos con distancias bi-invariantes |
| Título alternativo: | Finsler geometry of groups with bi-invariant distances |
| Autor: | Rey, Iván |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Lugar de trabajo: | CONICET. Instituto Argentino de Matemática Alberto Calderon (IAM)
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| Fecha de defensa: | 2026-03-18 |
| Fecha en portada: | 24 de octubre del 2025 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas |
| Departamento Docente: | Departamento de Matemáticas |
| Director: | Larotonda, Gabriel Andrés |
| Consejero: | Carando, Daniel Germán |
| Jurado: | Massey, Pedro Gustavo; Ovando, Gabriela Paola; Farinati, Marco Andrés |
| Idioma: | Español |
| Palabras clave: | NORMA DE FINSLER AD-INVARIANTE; MAYORIZACION; FUNCIONAL QUE REALIZA LA NORMA; METRICA BI-INVARIANTE; CURVATURA; METRICA DE FINSLER; GEODESICA; GRUPO DE LIE; NORMA UNITARIAMENTE INVARIANTEAD-INVARIANT FINSLER NORM; MAJORIZATION; NORMING FUNCTIONAL; BI-INVARIANT METRIC; CURVATURE; FINSLER METRIC; GEODESIC; LIE GROUP; UNITARILY INVARIANT NORM |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7913_Rey |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n7913_Rey.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n7913_Rey |
| Ubicación: | MAT 007913 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Rey, Iván. (2026). Geometría de Finsler de grupos con distancias bi-invariantes. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7913_Rey |
Resumen:
El objetivo de esta tesis es estudiar la geometría de Finsler de grupos de Lie conexos G equipados con una distancia bi-invariante dist(kg, kh) = dist(g, h) = dist(gk, hk) ∀g, h, k ∈ G. En el capítulo 2 estudiamos las normas de Finsler Ad-invariantes sobre las álgebras de Lie un y sun, las cuales inducen distancias bi-invariantes sobre los grupos Un y SUn respectivamente. Demostramos que dichas normas equivalen, vía cortes mediante álgebras de Lie abelianas maximales (MAB), a normas simétricas en $R^n$. Esto nos permite ver ejemplos y propiedades de las mismas con mayor facilidad. Exhibimos además una familia de normas de Finsler Ad-invariantes las cuales llamamos normas orbitales, las cuales probamos que nos sirven de normas de control sobre la familia de todas las normas Ad-invariantes. Sobre el final del mismo probamos que esencialmente todas las normas de Finsler Ad-invariantes que provienen de un producto interno son, en sun, múltiplos de la norma de Frobenius. En el capítulo 3 estudiamos los funcionales que realizan la norma de un elemento 0 ≠ V ∈ un, probando que si φ(V) = |V| entonces φ([X, [X, V]]) ≤ 0 ∀X ∈ un. Estudiamos además el caso de la igualdad llegando a la conclusión de que esta ocurre si y solo si [XC, N] = 0, donde XC es la parte co-diagonal de X respecto a V y N es tal que φ(·) = (·|N)F (el producto interno de Frobenius). Vemos además que en el caso de que la norma sea estrictamente convexa, la igualdad se cumple si y solo si [X, V] = 0. Introducimos también la noción de dual polar, diferenciación de normas y operadores disipativos, las cuales utilizamos para estudiar cuándo vale la igualdad |V + [X, [X, V]]| = |V|, obteniendo que esta misma ocurre cuando V y V + [X, [X, V]] pertenecen a la misma cara de la esfera. En el capítulo 4 mostramos que la una distancia bi-invariante en Un obtenida a partir de una norma de Finsler Ad-invariante en un satisface la desigualdad $d(e^X, e^Y) \\leq |Y - X|$ y estudiamos el caso de la igualdad. Introducimos en este mismo capítulo una noción de curvatura seccional basada en el trabajo de Milnor y probamos que para dicha noción vale sec(X, Y) = 0 si y solo si [X, Y] = 0 para el caso de normas estrictamente convexas. Estudiamos también el caso general donde obtenemos resultados conectados con las desigualdades probadas en el capítulo previo. En el capítulo 5 generalizamos los anteriores a grupos de Lie probando que un grupo de Lie G admite una distancia bi-invariante si y solo si su álgebra de Lie es reductiva. Esto nos da una descomposición de G como el producto de un grupo compacto y uno abeliano, extendiendo así un resultado de Milnor en el cual él prueba lo mismo pero para el caso en el cual la distancia proviene de una métrica riemanniana en el grupo de Lie.
Abstract:
The objective of this thesis is to study the Finsler geometry of connected Lie groups G equipped with a bi-invariant distance d(kg, k h) = d(g, h) = d(gk, hk) ∀g, h, k ∈ G. In Chapter 2, we study Ad-invariant Finsler norms on the Lie algebras un and sun, which induce bi-invariant distances on the groups Un and SUn, respectively. We prove that these norms are equivalent, via cuts through maximal abelian Lie subalgebras (MABs), to symmetric norms on R n . This allows us to more easily see examples and properties of them. We also exhibit a family of Ad-invariant Finsler norms that we call orbit norms, which we prove serve as controlling norms over the family of all Ad-invariant norms. Toward the end of the chapter, we prove that essentially all Ad-invariant Finsler norms that arise from an inner product are, on su, multiples of the Frobenius norm. In Chapter 3, we study the norming functionals for a nonzero element V ∈ un, proving that if φ(V) = |V| then φ( [X, [X, V]]) ≤ 0 ∀X ∈ un, and we also study the case of equality, reaching the conclusion that it holds if and only if [XC, N] = 0, where XC is the co-diagonal part of X with respect to V and N is such that φ(·) = (·|N)F (the Frobenius inner product). We also see that in the case where the norm is strictly convex, the equality holds if and only if [X, V] = 0. In this chapter, we also introduce the notion of dual polar, norm differentiation, and dissipative operators, which we use to study when the equality |V + [X, [X, V]] | = |V|, holds, obtaining that this occurs when V and V + [X, [X, V]] belong to the same face of the sphere. In Chapter 4, we show that a bi-invariant distance in Un obtained from an Ad-invariant Finsler norm in un satisfies the inequality d(e X, eY ) ≤ |Y − X| and we study the case of equality. We introduce a notion of sectional curvature based on Milnor’s work and prove that for this notion, sec(X, Y) = 0 if and only if [X, Y] = 0 in the case of strictly convex norms. We also study the general case, where we obtain results connected to the inequalities proved in the previous chapter. In Chapter 5, we generalize the previous results to Lie groups proving that a Lie group G admits a bi-invariant distance if and only if its Lie algebra is reductive. This gives us a decomposition of G as the product of a compact group and an abelian one, thus extending a result of Milnor in which he proves the same but for the case where the distance comes from a Riemannian metric on the Lie group.
Citación:
---------- APA ----------
Rey, Iván. (2026). Geometría de Finsler de grupos con distancias bi-invariantes. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7913_Rey
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Rey, Iván. "Geometría de Finsler de grupos con distancias bi-invariantes". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2026.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7913_Rey
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