Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Título: | Dinámica de aplicaciones homogéneas |
| Título alternativo: | Dynamics of homogeneous mappings |
| Autor: | Cardeccia, Rodrigo Alejandro |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Publicación en la Web: | 2024-01-09 |
| Fecha de defensa: | 2020-09-28 |
| Fecha en portada: | 28 de septiembre, 2020 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas |
| Director: | Muro, Santiago |
| Consejero: | Carando, Daniel Germán |
| Jurado: | Grosse-Erdman, Kark; Bes, Juan; Larotonda, Gabriel Andrés |
| Idioma: | Español |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7412_Cardeccia |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n7412_Cardeccia.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n7412_Cardeccia |
| Ubicación: | Dep.MAT 007412 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Cardeccia, Rodrigo Alejandro. (2020). Dinámica de aplicaciones homogéneas. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7412_Cardeccia |
Resumen:
El objetivo de esta tesis es contribuir a la teoría de los sistemas dinámicos inducidos por una función homogénea en espacios de dimensión infinita. Una aplicación S : X → X se dice hipercíclica si existe una órbita densa en el espacio. Es sabido que ningún espacio de Banach admite un polinomio homogéneo hipercíclico. Por otro lado se sabe que algunos espacios de Fréchet admiten polinomios homogéneos hipercíclicos. Introducimos una noción de conjunto de Julia asociado a un polinomio homogéneo en un espacio de Banach. De las propiedades elementales de dicho conjunto concluimos que toda órbita es nunca densa. Mostramos diversos ejemplos de polinomios homogéneos que son hipercíclicos restringidos a su conjunto de Julia. En particular probamos que todo espacio de Banach, separable y de dimensión infinita admite un polinomio homogÉneo distribucionalmente caÓtico. Probamos que el polinomio e'1B . B es débil hipercíclico, δ-hipercíclico y Γ-supercíclico para todo Γ Ď C no acotado y tal que 0 es punto de acumulación de Γ. Más aún estas propiedades son realizadas por la misma órbita. Cabe destacar que ningún espacio de Banach admite un polinomio homogéneo hipercíclico. Generalizamos la construcción a espacios de Banach arbitrarios. Exhibimos el primer ejemplo de un polinomio homogéneo hipercíclico en H(C), que es una fuente histórica de ejemplos de operadores hipercíclicos. Probamos que el polinomio f → f(0).f(.+1) es mixing, caótico y frecuentemente hipercíclico. Por otro lado mostramos que el polinomio f → f(0)f' no es hipercíclico. Respondemos una pregunta de Bés y Conejero encontrando operadores bilineales hipercíclicos sin vectores hipercíclicos densos en X x X ... X. Más aún, exhibimos el primer operador bilineal hipercíclico en un espacio de Banach y probamos que todo espacio de Banach de dimensión infinita y separable admite un operador bilineal hipercíclico. Respondemos una pregunta de Grosse Erdmann-Kim probando que todo espacio de Banach, separable y de dimensión infinita admite un operador bilineal simétrico bihipercíclico. Estudiamos F-hipercíclicidad para dos familias de números naturales relacionadas con la existencia de progresiones aritméticas arbitrariamente grandes. Introducimos las nociones de AP-hiperciclicidad y AP*-hiperciclicidad para operadores lineales. Mostramos que la noción de AP-hipercíclididad es equivalente a que el operador sea hipercíclico y multiple recurrente. Proponemos un criterio simple de AP-hiperciclicidad que es implicado por el criterio fuerte de Kitai. Exhibimos un ejemplo de un operador que es AP-hipercíclico y no weakly mixing. Respondemos una pregunta de Costakis-Parisis probando que todo espacio de Banach admite un operador AP-hipercíclico. Probamos que para operadores ω*-ω* continuos las nociones de AP*-hiperciclicidad, conjuntos periódicos densos y caoticidad son equivalentes, respondiendo parcialmente una pregunta de Bonilla-Grosse Erdmann. Probamos que para backwardshifts las nociones de ser hipercíclico con conjuntos periódicos densos y caós son equivalentes. Mostramos un ejemplo de un backwards-hift en c0 que es AP*-hipercíclico pero no caótico. Finalmente probamos que el espectro de los operadores AP*-hipercíclicos es perfecto.
Abstract:
The aim of this thesis is to contribute to the theory of dynamical systems induced by a homogeneous mapping acting on an infinite dimensional space. A map S : X → X is called hypercyclic provided that there is a dense orbit in the space. It is well known that there are no hypercyclic homogeneous polynomials on Banach spaces. On the other hand some non normable Fréchet spaces are known to support hypercyclic homogeneous polynomials. We introduce the notion of Julia set associated to a homogeneous polynomial acting on a Banach space. From its basic properties we deduce that every orbit is nowhere dense. We give several examples of homogeneous polynomials being hypercyclic restricted to its Julia set. In particular we prove that every separable and infinite dimensional Banach space supports a distributionally chaotic homogeneous polynomial. We prove that the homogeneous polynomial e'1B on lp is weakly hypercyclic, δ-hypercyclic and Γ-supercyclic for every Γ Ď C such that Γ is either unbounded or such that 0 is an accumulation point of Γ. Moreover these properties are achieved by the same orbit. It is worth noticing that no homogeneous polynomial on a Banach space is hypercyclic. We generalize the construction to arbtrary infinite dimensional and separable Banach spaces. We exhibit the first example of a hypercyclic homogeneous polynomial on H(C), which is a historic source of examples of hypercyclic operators. We prove that the polynomial f → f(0).f(.+1) is mixing chaotic and frequently hypercyclic. On the other hand we show that the polynomial f → f(0)f' is not even hypercyclic. We answer a question due to Bés and Conejero by finding examples of hypercyclic bilineal operators without a dense set of hypercyclic vectors. Moreover, we exhibit the first example of a hypercyclic bilineal operator on a Banach space. We generalize the construcion to arbitrary and separable Banach spaces. We answer a question of Grosse-Erdmann and Kim by proving that every separable and infinite dimensional Banach space supports a bihypercyclic symmetric bilineal operator. We study F-hypercyclicity for two families of natural numbers related to the existence of arbitrary long arithmetic progressions. We introduce the notion of AP-hypercyclicity and AP*-hypercyclicity for lineal operators. We prove that the concept of AP-hypercyclicity is equivalent to the operator being hypercyclic and multiple recurrent. We propose a simple criterion of AP-hypercyclicity which is implied by the strong Kitai criterion. We exhibit an example of an AP-hypercyclic operator which is weakly mixing. We answer a question of Costakis-Parisi by proving that every infinite dimensional and separable Banach space supports an AP-hypercyclic operator. We answer partially a question of Bonilla-Grosse Erdmann by proving that for ω*-ω* continuous operators the notions of AP*-hypercyclicity, hypercyclicity with dense small periodic sets and chaocity are equivalent. We prove that for backwardshifts operators the concepts of having dense small periodic sets and being chaotic are equivalent. On the other hand we show an example of a non-chaotic backwardshift on c0 that is AP*-hypercyclic. We study the spectrum of AP*-hypercyclic operators and prove that they are perfect.
Citación:
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Cardeccia, Rodrigo Alejandro. (2020). Dinámica de aplicaciones homogéneas. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7412_Cardeccia
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Cardeccia, Rodrigo Alejandro. "Dinámica de aplicaciones homogéneas". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2020.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7412_Cardeccia
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