Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Título: | El grupo de estructura de una JB-álgebra y la acción sobre el cono de elementos positivos |
| Título alternativo: | The structure group of a JB-algebra and the action on the cone of positive elements |
| Autor: | Luna, José Alejandro |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Publicación en la Web: | 2023-03-01 |
| Fecha de defensa: | 2022-12-16 |
| Fecha en portada: | 20 de noviembre de 2022 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas |
| Director: | Larotonda, Gabriel |
| Consejero: | Andruchow, Esteban |
| Jurado: | Chu, Cho-Ho; Tumpach, Alice B.; Lawson, Jimmie |
| Idioma: | Español |
| Palabras clave: | ALGEBRAS DE JORDAN; REPRESENTACION CUADRATICA; JB-ALGEBRAS; GRUPO DE ESTRUCTURA; GRUPO DE AUTOMORFISMOS; ISOTOPOS DE JORDAN; METRICA DE FINSLERJORDAN ALGEBRAS; QUADRATIC REPRESENTATION; JB-ALGEBRAS; STRUCTURE GROUP; AUTOMORPHISM GROUP; JORDAN ISOTOPES; FINSLER METRIC |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7229_Luna |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n7229_Luna.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n7229_Luna |
| Ubicación: | Dep.MAT 007229 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Luna, José Alejandro. (2022). El grupo de estructura de una JB-álgebra y la acción sobre el cono de elementos positivos. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7229_Luna |
Resumen:
El objetivo de la tesis es caracterizar al grupo de estructura de una JB-álgebra y estudiar las estructuras métricas que aparecen en un subgrupo del mismo y en el cono de elementos positivos, vinculadas por una acción. En el primer capítulo revisaremos las estructuras métricas y geométricas con las que trabajaremos en los siguientes capítulos. En el segundo capítulo daremos un vistazo general a dos temas con los que trabajaremos durante la tesis: los conos y las álgebras de Jordan. Daremos especial atención a las JB-álgebras, cuya norma está asociada a la estructura de orden dada por el cono de elementos de espectro positivo Ω. Estudiaremos estos elementos, estableceremos un vínculo entre el espectro de elementos x y sus operadores de multiplicación Lx y caracterizaremos los elementos con operador cuadrático Ux = 2L2x − Lx2 positivo. En el tercer capítulo vamos a considerar un grupo de automorfismos que actúan sobre el cono de elementos positivos; queremos darle estructura de grupo de Lie-Banach. Para dar una estructura de Lie y de variedad apropiada al grupo de transformaciones que fija el cono, que llamaremos G(Ω), estudiaremos primero un grupo más grande, el grupo de estructura, y derivaremos la estructura desde allí. Caracterizaremos también a los elementos del grupo de estructura y aplicaremos esto al estudio de los isótopos de Jordan. Para terminar, estudiaremos el caso particular del álgebra de Jordan especial de operadores de un espacio de Hilbert. En el cuarto capítulo estudiaremos la estructura simétrica y métrica del grupo G(Ω) y del cono Ω. Mostraremos una conexión invariante sobre el grupo de estructura. Presentaremos al cono como un espacio homogéneo de Cartan sobre G(Ω) y por lo tanto obteniendo una conexión natural sobre él. Luego dotaremos a estos grupos con una métrica invariante a izquierda usando la norma uniforme en las álgebras de Lie de estos grupos. Dotaremos también a Ω con una métrica de Finsler invariante a izquierda y mostraremos que es igual a la métrica cociente obtenida a partir de G(Ω). Finalmente usaremos la noción de levantado horizontal de geodésicas para mostrar que los grupos a un parámetro en G(Ω) con velocidad inicial en el espacio de operadores de multiplicación son minimales para la distancia inducida por la métrica invariante en G(Ω) [fórmula aproximada, revisar la misma en el original].
Abstract:
The objective of this thesis is to characterize the structure group of a JB-algebra and to study the metric structures that appear in a subgroup of it and in the cone of positive elements, linked by an action. In the first chapter we will review the geometric and metric structures that we will work with in the following chapters. In the second chapter we will give an overview of two topics that we will work with during the thesis: cones and Jordan algebras. We will pay special attention to JB-algebras, whose norm is associated with the order structure given by the cone of positive spectrum elements Ω. We will study these elements, we will establish a link between the spectrum of elements x and their multiplication operators Lx, and we will characterize the elements with positive quadratic operator Ux = 2L2x − Lx2 . In the third chapter we are going to consider a group of automorphisms that acts on the cone of positive elements; we want to give it a Lie-Banach group structure. To give an appropriate manifold and Lie structure to the group of transformations that fixes the cone, which we will call G(Ω), we will first study a larger group, the structure group, and derive the structure from there. We will also characterize the elements of the structure group and apply this to the study of Jordan isotopes. Finally, we will study the particular case of the special Jordan algebra of operators of a Hilbert space. In the fourth chapter we will study the symmetric and metric structure of G(Ω) and Ω. We will show an invariant connection on the structure group. We will pre- sent the cone as a homogeneous Cartan space over G(Ω) and thus obtain a natural connection over it. We will then endow these groups with a left-invariant metric using the uniform norm on the Lie algebras of these groups. We will also equip Ω with a left-invariant Finsler metric and show that it is equal to the quotient metric obtained from G(Ω). Finally we will use the notion of horizontal lifting of geodesics to show that the one-parameter groups in G(Ω) with initial velocity in the space of multiplication operators are minimal for the distance induced by the invariant metric in G(Ω) [fórmula aproximada, revisar la misma en el original].
Citación:
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Luna, José Alejandro. (2022). El grupo de estructura de una JB-álgebra y la acción sobre el cono de elementos positivos. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7229_Luna
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Luna, José Alejandro. "El grupo de estructura de una JB-álgebra y la acción sobre el cono de elementos positivos". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2022.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7229_Luna
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