Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Título: | Tiempo de salida de difusiones y función de profundidad |
| Título alternativo: | Exit time of diffusions and depth function |
| Autor: | Giussani, Guido |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Filiación: | Universidad de San Andrés
|
| Publicación en la Web: | 2022-07-05 |
| Fecha de defensa: | 2021-12-13 |
| Fecha en portada: | 2021 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas |
| Director: | Ferrari, Pablo Augusto; Fraiman, Ricardo |
| Jurado: | San Martín Aristegui, Jaime Ricardo; Cascos Fernández, Ignacio; Nieto Reyes, Alicia |
| Idioma: | Español |
| Palabras clave: | FUNCION DE PROFUNDIDAD; DIFUSIONES DE ITO; PASEOS ALEATORIOS; TIEMPO DE SALIDA; DATOS MULTIVARIADOSDEPTH FUNCTIONS; ITO DIFFUSIONS; RANDOM WALKS; EXIT TIME; MULTIVARIATE DATA |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7012_Giussani |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n7012_Giussani.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n7012_Giussani |
| Ubicación: | Dep.MAT 007012 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Giussani, Guido. (2021). Tiempo de salida de difusiones y función de profundidad. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7012_Giussani |
Resumen:
Una de las herramientas mas utilizadas para el análisis e inferencia no paramétrica multivariada es la función de profundidad. Su principal uso es el de dar un ordenamiento de los puntos en el soporte de la distribución, “del centro hacia afuera”. La propuesta es utilizar difusiones de Itô para definir una nueva función de profundidad. Dada una distribución F con soporte D, la profundidad en un punto x es la transformada de Laplace del tiempo de salida de D de una difusión de Itô cuyos coeficientes dependen de la densidad. Esta profundidad de salida (PS), es la solución de un problema de frontera de tipo Dirichlet 0 para un operador diferencial de segundo orden uniformemente elíptico. Las herramientas empleadas para mostrar sus propiedades son usuales en ecuaciones en derivadas parciales. Así como la profundidad de Tukey [58], entre otras, PS esta inspirada en su versión empírica; basada en el tiempo de salida de un paseo aleatorio en un grafo aleatorio, un objeto clásico en probabilidad. El grafo utilizado en la versión empírica tiene como vértices a los puntos de una muestra y aristas definidas intrínsecamente, dependiendo de las distancias entre los puntos; el paseo aleatorio se mueve entre vecinos del grafo. La consistencia de la profundidad empírica es una consecuencia de un principio de invarianza, es decir, de la convergencia del paseo aleatorio reescalado a la difusión, cuando el número de puntos de la muestra crece a infinito. La profundidad PS se puede aplicar a distribuciones con soportes no convexos. La versión empírica está bien definida en grafos genéricos, no asociados a una distribución y en espacios no Euclidianos, por ejemplo, sin un sistema de coordenadas de referencia. Para mostrar una de las posibles aplicaciones, se realiza un estudio de clasificación para datos simulados y reales obteniéndose resultados superlativos en el caso de que las muestras aleatorias provengan de distribuciones con soporte no convexo.
Abstract:
One of the most used tools for multivariate nonparametric analysis and inference is the depth function. Its main use is to give an ordering of the points in the support of the distribution, “ from the center outwards”. The proposal is to use Itô diffusions to define a new depth function. Given a distribution F with support D, the depth at a point x is the Laplace transform of the exit time from D of a Itô diffusion whose coefficients depend on the density. This exit depth (PS), is the solution to a 0 Dirichlet boundary problem for an uniformly elliptical second-order differential operator. The tools used to show their properties are common in partial derivative equations. As well as the Tukey depth [58], among others, PS is inspired by its empirical version; based on the exit time of a random walk on a random graph, a classic object in probability. The graph used in the empirical version has as vertices the points of a sample and intrinsically defined edges, depending on the distances between the points; the random walk moves between neighbors of the graph. The consistency of the empirical depth is a consequence of an invariance principle, that is, of the convergence of the rescaled random walk to the diffusion, when the number of points in the sample grows to infinity. The depth PS can be applied to distributions with non-convex supports. The empirical version is well defined in generic graphs, not associated with a distribution and in non-Euclidean spaces, for example, without a reference coordinate system. To show one of the possible applications, a classification study is carried out for simulated and real data, obtaining superlative results in the case that the random samples come from distributions with non-convex support.
Citación:
---------- APA ----------
Giussani, Guido. (2021). Tiempo de salida de difusiones y función de profundidad. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7012_Giussani
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Giussani, Guido. "Tiempo de salida de difusiones y función de profundidad". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2021.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n7012_Giussani
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