Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Disciplina: | matematica |
| Título: | Métodos mixtos con mallas híbridas para problemas elípticos en dominios poliedrales |
| Autor: | Jawtuschenko, Alexis |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Filiación: | Departamento de Matemática (DM)
|
| Publicación en la Web: | 2019-04-30 |
| Fecha de defensa: | 2018-09-17 |
| Fecha en portada: | 2018 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el área de Ciencias Matemáticas |
| Director: | Lombardi, Ariel |
| Jurado: | Nicaise, Serge E.C.G.; Morim, Pedro; Rial, Diego F. |
| Idioma: | Español |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6507_Jawtuschenko |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n6507_Jawtuschenko.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n6507_Jawtuschenko |
| Ubicación: | Dep.MAT 006507 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Jawtuschenko, Alexis. (2018). Métodos mixtos con mallas híbridas para problemas elípticos en dominios poliedrales. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6507_Jawtuschenko |
Resumen:
En esta Tesis introducimos un Método combinado de Elementos Finitos y Virtuales en dimensión tres para la aproximación mixta de un problema elíptico modelo para el operador de Laplace en un poliedro arbitrario. El método es analizado por completo cuando las mallas constan de prismas rectos de base triangular, pirámdes y tetraedros. Los espacios locales discretizantes coinciden con los espacios de orden mínimo de Raviart-Thomas sobre tetraedros y prismas, y constituyen una extensión de estos a elementos piramidales. Probamos que el esquema discreto es bien planteado y probamos estimaciones óptimas de error sobre mallas que admiten elementos anisótropos. En particular, nuestras estimaciones de error de interpolación local para el espacio discreto son óptimas y anisótropas en prismas rectos anisótropos. La motivación para trabajar con elementos anisótropos es que en distintas situaciones en aproximaciones por elementos finitos mixtos es necesario el uso de mallas con elementos elongados. Este es el caso, por ejemplo, con la ecuación de Poisson en un poliedro Ω con aristas cóncavas y vértices entrantes, que en forma mixta puede escribirse comoμ = -∇p en Ωdiv μ = f en Ωμ = 0 en ∂Ω En este caso la variable vectorial de la solución, μ, no está en H1(Ω) en el caso general debido a las singularidades de aristas y vértices. En particular, cerca de las aristas cóncavas, μ es más regular en la dirección a lo largo de éstas que transversalmente, y consecuentemente las mallas tienen que ser adecuadamente refinadas para recuperar el orden óptimo de convergencia con respecto al número de grados de libertad. Tales mallas contienen elementos arbitrariamente alargados en la dirección de las aristas singulares. Asimismo, proponemos un proceso de mallado para construir una familia de mallas que nos permite obtener estimaciones de error de aproximacion global óptimas cuando la solución del problema modelo presenta singularidades de arista o vértice puesto que las mallas resultan, por construcción, adecuadamente graduadas y adaptadas a las singularidades, como mencionamos en el párrafo anterior. Además en la presente Tesis obtuvimos cotas de estabilidad y de error de interpolación local para Elementos Finitos prismáticos anisótropos de orden arbitrario, tanto para la clase de elementos conformes en H(curl) como para la clase de elementos conformes en H(div), que constituyen resultados adicionales que extienden algunos hechos te óricos que probamos para el problema principal de la tesis. También presentamos cotas de estabilidad y de error de interpolación local para Elementos Finitos piramidales anisótropos de orden bajo, tanto para la clase de elementos conformes en H(curl) como para la clase de elementos conformes en H(div). Este resultado está incluido para mostrar una variante a nuestro método principal, esto es, un método solamente con elementos finitos. Con respecto a esta variante, como mostramos explícitamente en la Tesis, las funciones de forma, generadoras de estos últimos espacios de Elementos Finitos, son racionales y son singulares, aunque acotadas, en la pirámide de referencia. Esta es una razón por la cual consideramos que nuestra aproximación FE–VE combinada presenta una ventaja que es evitar la evaluación de funciones con dichas propiedades en implementaciones en computadoras.
Abstract:
In this Thesis we introduce a combined Finite and Virtual Element Method in dimension three for the mixed approximation of a model elliptic problem for the Laplace operator on an arbitrary polyhedron. The method is fully analysed when the meshes are made up of triangularly right prisms, pyramids and tetrahedra. The local discrete spaces coincide with the lowest order Raviart-Thomas spaces on tetrahedra and prisms, and extend them to pyramidal elements. The discrete scheme is well posed and optimal error estimates are proved on meshes which allow for anisotropic elements. In particular, local interpolation error estimates for the discrete element space are optimal and anisotropic on anisotropic right prisms. The motivation to work with anisotropic elements is that in several situations in mixed finite element approximations the use of meshes with narrow elements is needed. This is the case for instance when dealing with the Poisson equation in a polyhedron Ω with concave edges or vertices, which in mixed form can be written asμ = -∇p en Ωdiv μ = f en Ωμ = 0 en ∂Ω In this case the vectorial variable of the solution, u, is in general not in H1(Ω) due to vertex and edges singularities. In particular, close to concave edges, u is expected to be more regular in its direction than transversally to it, and consequently the mesh has to be accordingly refined in order to recover optimal order of convergence with respect to the number of degrees of freedom. Those meshes contain elements that are arbitrarily elongated in the direction of concave edges. Likewise, we propose a meshing process to construct a mesh that allows us to obtain optimal global approximation error estimates when the solution has edge or vertex singularities as the mesh results, by construction, suitably graded and adapted to the singularities. Furthermore, in the present Thesis we obtained local anisotropic stability and interpolation error estimates for arbitrary order Prismatic Finite Elements in both the curl–conforming and div–conforming classes of elements, which are additional results that extend some theoretical facts we proved for the main problem of the Thesis. Moreover, we present local anisotropic stability and interpolation error estimates for lowest order Pyramidal Finite Elements constructed in the literature for both the curl–conforming and div–conforming classes of elements. This result is included to show a variant to our main method, that is one with only Finite Elements. Regarding this variant, as we show explicitly in the Thesis, the shape functions spanning the pyramidal Finite Element spaces are rational functions and are singular, yet bounded, in the reference pyramid. This is a reason why we considered that our combined FE–VE approach presents the advantage of avoiding the evaluation of functions with those properties in computer implementations.
Citación:
---------- APA ----------
Jawtuschenko, Alexis. (2018). Métodos mixtos con mallas híbridas para problemas elípticos en dominios poliedrales. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6507_Jawtuschenko
---------- CHICAGO ----------
Jawtuschenko, Alexis. "Métodos mixtos con mallas híbridas para problemas elípticos en dominios poliedrales". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2018.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6507_Jawtuschenko
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