Registro:
| Documento: | Tesis Doctoral |
| Disciplina: | matematica |
| Título: | Dimensión de Minkowski, autosimilaridad y aplicaciones |
| Título alternativo: | Minkowski dimension, self-similarity and applications |
| Autor: | Falsetti, Marcela Cristina |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Publicación en la Web: | 2017-03-01 |
| Fecha de defensa: | 2001 |
| Fecha en portada: | 2001 |
| Grado Obtenido: | Doctorado |
| Título Obtenido: | Doctor en Ciencias Matemáticas |
| Director: | Molter, Úrsula María |
| Idioma: | Español |
| Palabras clave: | PRIMERA PARTE: GEOMETRIA FRACTAL; DIMENSION DE HAUSDORFF; DIMENSION DE MINKOWSKI; CURVA FRACTAL; CONJUNTO CONVEXO; TAMAÑO; ANCHURA; DESVIACION; ANCHURA SECUNDARIA; CURVA EXPANSIVA; SEGUNDA PARTE: SISTEMA ITERADO DE FUNCIONES; OPERADOR CONTRATIVO; TEOREMA DE PUNTO FIJO; ATRACTOR; TEOREMA DE COLLAGE; MEDIDA INVARIANTE; COMPRENSION FRACTAL DE IMAGENES; SISTEMA ITERADO DE CONJUNTOS DIFUSOS; AUTOSIMILARIDAD GENERALIZADA; CODIFICACION POR BLOQUESPART I: FRACTAL GEOMETRY; HAUSDORFF DIMENSION; MINKOWSKI DIMENSION; FRACTAL CURVE; CONVEX SET; SIZE; BREADTH; DEVIATION; SECONDARY BREADTH; EXPANSIVE CURVE; PART II : ITERATED FUNCTION SYSTEM; CONTRACTIVE OPERATOR; FIX POINT; ATTRATOR; COLLAFE THEOREM; INVARIANT MEASURE; FRACTAL COMPRESSION OF IMAGES; ITERATED FUZZY SYSTEM; GENERALIZED SELF; SIMILARITY; BLOCK; CODING |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3419_Falsetti |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/tesis/tesis_n3419_Falsetti.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/tesis/document/tesis_n3419_Falsetti |
| Ubicación: | Dep.003419 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. Falsetti, Marcela Cristina. (2001). Dimensión de Minkowski, autosimilaridad y aplicaciones. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3419_Falsetti |
Resumen:
En este trabajo abordamos el estudio de algunos tópicos de Geometría Hactaly se presenta en dos partes. Comenzamos con un análisis de aspectos teóricos yprácticos de la dimensión de Hausdorff y de la dimensión de Minskowski, dadoque la dimensión es un parámetro esencial para estudiar conjuntos fractales. Usando integración de medidas unidimensionales, se encuentra un método alternativopara el cálculo de la dimensión de Minkowski para cualquier conjuntoacotado del plano. Este abordaje es computacionalmente más eficiente que elcálculo directo de la dimensión de Minkowski (see [NVdW94], [Tri95]). De los conjuntos en general ponemos especial interés en las curvas. Lascurvas, y especialmente las “curvas fractales”, son importantes pues modelizanuna amplia clase de fenómenos naturales tales como costas geográficas, señalesde sonido, etc. El caso de curvas planas ha sido tratado por Tricot (ver [Tri95])quien desarrolló un análisis de las mismas basado en parámetros geométricosasociados a conjuntos convexos. La idea es aproximar el engordado de unacurva por cápsulas convexas de subarcos y, usando el diámetro y la anchura dedichas cápsulas, obtener una fórmula más simple y eficiente para el cálculo dela dimensión de Minkowski. En este trabajo se realiza un análisis geométrico para. las curvas tridimensionalesy se introduce un nuevo parámetro: la anchura secundaria. Se definela clase de curvas expansivas para el caso tridimensional y se encuentra para ellasuna fórmula alternativa para calcular dimensión de Minkowski. Finalmentemostramos cómo este abordaje generaliza el desarrollado por Tricot para curvasplanas y analizamos las dificultades que aparecen al aumentar la dimensionalidaddel espacio de base. En la Segunda Parte presentamos los fundamentos matemáticos de la Compresión Fractal de imágenes. Se revisan los principales modelos matemáticosde compresión fractal que tienen estrecha relación con nuestro trabajo y se explicandiferentes modelos para el problema de compresión de imágenes. Estosmodelos dependen esencialmente del espacio de representación de las imágenescon niveles de gris: pueden usar medidas o funciones definidas sobre puntos. En particular se analiza el modelo de Codificación por Bloques de J acquin (ver [Jac89]) y el modelo IFZS (ver [CFMV92]) como ejemplos de uno y otro caso. Se estudia el esquema funcional de Autosimilaridad Generalizada [CM99]como modelo teórico para resolver el problema inverso para fractales y otrosconjuntos. La idea en este caso es la siguiente: dada una función, que representauna imagen o una señal, se quieren encontrar dos conjuntos finitos de funciones {ωi} 1«i«m y {φi} 1«i«m, y un operador contractivo que los involucra, tal que elpunto fijo de ese operador sea una función cercana a la dada. Se presenta un modelo que combina elementos de la Autosimilaridad Generalizadacon la codificación por bloques. El mismo permite mayor flexibilidaden la estructura autosimilar de la compresión fractal estandard, un mejoraprovechamiento de la redundacia de la imagen, una completa automatizacióndel algoritmo y control del error de aproximación entre la imagen original y lareconstruida. Por último se muestra la relación entre los modelos funcionales IFZS y de Autosimilaridad Generalizada que están definidos sobre espacios funcionales esencialmentedistintos.
Abstract:
This thesis is about Fiactal Geometry and is presented in two parts. Since dimensionis an essential parameter to study fractals, in Part I we analyze thetheoretical and practical aspects of Hausdorfi dimension and Minskowskidimension. We present a theoretical approach, by using integration of unidimensionalmeasures, for the computation of Minskowskidimension of any bounded planarset. This approach is computationally more efficent than stright computationof the Minkowski dimension (see [NVdW94], [Tri95]). We are particularly interested in curves. Curves, and specially “fractalcurves”, are important because they represent a wide class of natural fenomenasuch that geographical coasts, sígnals, Brownian motion,etc. Planar curveshave been studied by Tricot (see [Tri95]). He developed an analysis for expansiveplanar curves based on geometrical parameters associated to convex sets. The main idea is to approximate the e-saussage of a curve by convex hulls ofsubarcs, obtaining a more simple and eflicient formula for the computation ofthe Minkowski dimension, by using the diameter and breadth of these convexhulls. In this work we present a geometrical analysis of tridimensional curves andwe introduce a new parameter: the secondary breadth. We define the classof expansive curves for the tridimensional case and find an alternative formulafor computing he Minskowski dimension. First we need to demonstrate someresults about convex sets. We show that this method generalizes the Tricot'sapproach. In Part II, we present the mathematical foundations of Fractal Block Compressionof images. We review the main mathematical models that are closelyrelated to our work and analyze different approaches to the fractal compressionproblem. They are mainly two possible approaches: the first one uses measuresto represent images with grey-levels and the second one uses functions. In particularwe review the Block-codingmethod introduced by Jacquin in [Jac89], asan example of the first approach, and the IFZS method introduced by Cabrelliet al. in [CFMV92] as an example of the second one. We study the functional scheme of Generalized Self-Similarity (see [CM94]and [CM99]) as a theoretical model to solve the inverse problem to fractals andother sets. The idea in this case es the following: Given a target function,that represents an image or signal, we must find two finite sets of functions: {ωi} 1«i«m and {φi} 1«i«m, and a contractive operator that involves these functions,such that the attractor of this operator is a function close to the target. In this thesis we present a model that combines the main ideas of Generalized Self-Similarity and the Block-coding method. It allows more fiexibility in theself-similar structure of standard fractal compression, it takes more advantagesof redundancy of the image, and furthemore it enables us to incorporate acomplete algorithm automatization and the control of the approximation error. Finally, we show the relation between the IFZS and the Generalized SelfSimilaritymodels that are defined on essentialy different functional spaces.
Citación:
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Falsetti, Marcela Cristina. (2001). Dimensión de Minkowski, autosimilaridad y aplicaciones. (Tesis Doctoral. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3419_Falsetti
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Falsetti, Marcela Cristina. "Dimensión de Minkowski, autosimilaridad y aplicaciones". Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2001.https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3419_Falsetti
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