Resumen:
El objetivo de este trabajo ha sido presentar los fundamentos teóricos detrás de dos métodos utilizados para el cálculo de formas de Hilbert. Estos métodos son conocidos como el método definido y el método indefinido, debido al uso que hacen de las álgebras de cuaterniones denominadas definidas e indefinidas, respectivamente. Nos hemos enfocado únicamente en los puntos que hemos considerado más importantes para entender la relevancia y el funcionamiento de dichos métodos. Hemos intentado responder a la siguientes preguntas: ¿qué es una forma de Hilbert? ¿qué quiere decir “calcular” en este contexto? y ¿cómo hacemos para calcular formas de Hilbert? Vale la pena aclarar que, en cuanto a la última de estas tres preguntas, el “cómo”, la respuesta que damos aquí es una respuesta parcial; nos hemos restringido a mostrar que nuestros objetos de interés tienen diversas realizaciones, siendo algunas de ellas más amenas al estudio mediante métodos computacionales. No nos hemos detenido, sin embargo, en proporcionar una descripción detallada de los algoritmos involucrados en estos cálculos. Los mismos se pueden hallar en las referencias. En el Capítulo I, mencionamos algunas definiciones básicas e intentamos, dentro de lo posible, ilustrar algunos puntos a desarrollar en los capítulos subsiguientes, con el caso del cuerpo de números racionales. El Capítulo II está dedicado a proporcionar resultados generales de la teoría de las álgebras de cuaterniones. Nos interesará, especialmente, entender el caso en el que el cuerpo de base es un cuerpo de números. Para poder tratar este caso, repasamos brevemente el lenguaje de los adèles y, utilizando esta herramienta, podremos enunciar los teoremas de clasificación (Teorema II.20), de aproximación fuerte (Teorema II.23) y de la norma (Teorema II.21). Dada un álgebra de cuaterniones y un orden en este álgebra podemos definir un objeto análogo al grupo de clases de un cuerpo de números, el conjunto de clases del orden. Los elementos de este conjunto son clases de ideales invertibles y, en el caso de un orden de Eichler, la cantidad de dichas clases es finita. Hacia el final del capítulo enunciamos un resultado que relaciona el conjunto de clases de un orden de Eichler con un grupo de clases del cuerpo de base. En el Capítulo III, introducimos las formas de Hilbert sobre un cuerpo totalmente real F; daremos una definición “clásica”, como funciones en el producto h n de copias del semiplano complejo superior, y una definición “adélica”, como funciones en el grupo GL2(AF). Este capítulo también tiene por objetivo introducir los operadores de Hecke y mostrar en qué sentido es posible diagonalizarlos simultáneamente y caracterizarlos por los sistemas de autovalores asociados. Calcular los espacios de formas de Hilbert, se reduce entonces a determinar los posibles sistemas de autovalores para los operadores de Hecke. Los últimos dos capítulos están dedicados a las formas modulares cuaterniónicas. En el Capítulo IV definimos formas modulares para un álgebra de cuaterniones arbitraria y enunciamos la correspondencia de Jacquet-Langlands. Finalmente, en el Capítulo V, nos restringimos a las álgebras definidas y a las álgebras indefinidas ramificadas en todos salvo un único lugar arquimediano, describiendo en mayor detalle los objetos utiizados en la práctica para calcular efectivamente formas de Hilbert.
Citación:
---------- APA ----------
Mejail, Daniel. (2021). Cálculo de formas de Hilbert. (Tesis de Grado. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT001029_Mejail
---------- CHICAGO ----------
Mejail, Daniel. "Cálculo de formas de Hilbert". Tesis de Grado, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2021.https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT001029_Mejail
Estadísticas:
Descargas mensuales
Total de descargas desde :
https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/seminario/seminario_nMAT001029_Mejail.pdf
Distrubución geográfica
