Resumen:
Esta tesis está orientada hacia el estudio de desigualdades de operadores en espacios de Hilbert, más precisamente se presentan algunas nuevas demostraciones, publicadas por E. Effros en “A matrix convexity approach to some celebrated quantum inequalities”, de resultados ya conocidos, entre los cuales se destacan: la convexidad conjunta de la entropáa relativa S(ρ||σ) = T r(ρ log ρ − ρ log σ), sobre operadores estrictamente positivos de la forma I + N, con N nuclear. La concavidad conjunta de la aplicación definida sobre los pares de operadores positivos (A, B) 7→ T r(AqX∗BpX), donde X es un operador nuclear y 0 < p, q verifican p + q ≤ 1. Si bien en “A matrix convexity approach to some celebrated quantum inequalities” se trabaja en dimensión finita, las mismas ideas sirven para extender los resultados a espacios de dimensión infinita. Lo más valioso del enfoque de estas demostraciones, es la relativa sencillez respecto a otras, por ejemplo, las publicadas en “Another short and elementary proof of strong subadditivity of quantum entropy”, “Lieb’s simple proof of concavity of (A, B) 7→ T r(ApK∗B(1 − p)K) and remarks on related inequalities”, “Entropy, information and quantum measurements”. Cronológicamente, los resultados e ideas necesarios para llegar a las pruebas de Effros, se podrían resumir de la siguiente manera: en 1906, J. L. W. V. Jensen muestra en “Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes” que toda función convexa (de punto medio) y continua f, definida en un intervalo I ⊂ R, satisface f(Xλiti) ≤ Xλif(ti), para cualquier combinación convexa {λi} de puntos {ti} en I. Esto se puede reescribir, si f(0) = 0, como f(a∗xa) ≤ a∗f(x)a con x la matriz diagonal cuya coordenada ii es ti y a la matriz cuya primera columna está formada por las raíces de los λi completada con ceros. En 1982, en “Jensen’s inequality for operators and L ̈owner’s theorem”, y en 2003, en “Jensen’s operator inequality”, F. Hansen y G. K. Pedersen establecen una serie de propiedades equivalentes a la convexidad de operadores, extendiendo la desigualdad de Jensen. En 2005, en “On a functional operation generating convex functions. I. Duality.” y “On a functional operation generating convex functions. II. Algebraic properties” P. Marechal introduce una generalización de la perspectiva de una función convexa f, definiendo, para h convexa, f∆h(x, y) = fx h(y) h(y), que se generaliza a operadores mediante el cálculo funcional. Usando las equivalencias de Hansen y Pedersen se prueba que la perspectiva de Marechal es conjuntamente convexa para cierto tipo de operadores. Finalmente, en 2009, E. G. Effros “A matrix convexity approach to some celebrated quantum inequalities” usa la convexidad conjunta de la perspectiva de Marechal para re-demostrar algunos resultados, entre ellos la convexidad conjunta de la entropía relativa (resultado original de Lieb y Ruskai publicado en “Proof of the strong subadditivity of quantum mechanical entropy”, en 1973) y la concavidad conjunta para cierto tipo de operadores de la aplicación F(A, B) = tr(ApK∗BqK), con 0 < p, q y p + q ≤ 1 (resultado obtenido en 1973 por Lieb). La teoría de convexidad de matrices y de operadores, de interés por sí misma, se ha revitalizado en las últimas décadas con la aparición de la teoría cuántica de la información y la computación cuántica, que han proporcionado numerosos ejemplos y nuevos problemas. Por citar alguno, en “Quantum coding”, se muestra que la entropía S(ρ) = tr(ρ log ρ) se puede interpretar, en cierto sentido, como la cantidad promedio de qubits necesarios para codificar con fidelidad mensajes emitidos por la fuente ρ. Una introducción a la teoría cuántica de la información y la computación cuántica puede encontrarse en “Quantum coding”, “Quantum computation” y “Quantum computation and quantum information”. Esta tesis esta organizada del siguiente modo: En el primer capítulo, se repasan ciertos resultados básicos de teoría de operadores que nos servirán a lo largo de todo el trabajo. También extendemos las nociones de monotonía y convexidad a funciones definidas sobre el espacio de matrices Hermitianas. El segundo capítulo está dedicado a estudiar algunas propiedades de las funciones monótonas y convexas de matrices, culminando con la caracterización de Loewner. El tercer capítulo está dedicado a las C∗-álgebras. De particular interés para este trabajo resulta la transformada de Gelfand, que nos permitirá definir funciones continuas sobre operadores normales y acotados sobre espacios de Hilbert. El último capítulo se concentra en las demostraciones recientes de Effros a las que nos referimos anteriormente. Repasamos allí la desigualdad de Jensen para operadores y extendemos algunos resultados al contexto infinito dimensional, esencialmente a clases de operadores compactos.
Citación:
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Elencwajg, René. (2010). Desigualdades en espacios de operadores. (Tesis de Grado. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000983_Elencwajg
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Elencwajg, René. "Desigualdades en espacios de operadores". Tesis de Grado, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2010.https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000983_Elencwajg
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