Registro:
| Documento: | Tesis de Grado |
| Título: | Rango óptimo en teoremas de restricción para la transformada de Fourier a conjuntos fractales |
| Autor: | García, Nahuel |
| Editor: | Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales |
| Fecha de defensa: | 2018-09-07 |
| Fecha en portada: | Julio de 2018 |
| Grado Obtenido: | Grado |
| Título Obtenido: | Licenciado en Ciencias Matemáticas |
| Departamento Docente: | Departamento de Matemáticas |
| Director: | Rela, Ezequiel |
| Jurado: | Cabrelli, Carlos Alberto; Galicer, Daniel Eric |
| Idioma: | Español |
| Palabras clave: | RESTRICCION DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER; CONJUNTOS DE SALEM; DIMENSION DE HAUSDORFF; DIMENSION DE FOURIER |
| Formato: | PDF |
| Handle: |
http://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000870_Garcia |
| PDF: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/download/seminario/seminario_nMAT000870_Garcia.pdf |
| Registro: | https://bibliotecadigital.exactas.uba.ar/collection/seminario/document/seminario_nMAT000870_Garcia |
| Ubicación: | Dep.MAT 000870 |
| Derechos de Acceso: | Esta obra puede ser leída, grabada y utilizada con fines de estudio, investigación y docencia. Es necesario el reconocimiento de autoría mediante la cita correspondiente. García, Nahuel. (2018). Rango óptimo en teoremas de restricción para la transformada de Fourier a conjuntos fractales. (Tesis de Grado. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de http://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000870_Garcia |
Resumen:
En esta tesis estudiaremos un problema clásico del análisis armónico conocido como “restricción de la transformada de Fourier”, cuya formulación clásica, debida a Stein, es la siguiente: ¿Es posible restringir el operador transformada de Fourier que va de un espacio de funciones Lp(Rd) a otro espacio de funciones Lq(Rd) a un operador saliendo del mismo espacio pero llegando a Lq(Sd−1) para algún par de exponentes p, q? Notemos que la esfera tiene medida de Lebesgue cero, y teniendo en cuenta que si tomamos una función en L2, su transformada de Fourier también caerá en L2, restringirla a un conjunto de medida cero no tendrá sentido. En este trabajo estudiaremos las condiciones necesarias para que existan teoremas de restricción a la esfera, esto vendrá dado por lo que se conoce como "Knapp example", que consiste en estudiar el comportamiento de la función en pequeñas cáscaras esféricas y en donde la curvatura cumplirá un rol fundamental. En cuanto al problema de decidir cuándo estas condiciones son suficientes, estudiaremos un resultado de Fefferman-Stein [Fef70] donde prueban que para dimensión d = 2 lo son, pero en general es un problema que sigue abierto. Estudiaremos también un resultado debido a Mockenhaupt que generaliza el problema propuesto por Stein a conjuntos medibles más generales y no solo hipersuperficies como la esfera. También estudiaremos dos nociones de dimensión: la dimensión de Hausdorff y la dimensión de Fourier. Ilustraremos esto con algunos ejemplos de conjuntos fractales que poseen dimensión fraccionaria. Esto nos permitirá dar un marco introductorio adecuado para el estudio de una publicación debida a Laba-Hambrook [HŁ13] en donde prueban un análogo del "Knapp example" para el caso de subconjuntos fractales de la recta real, a donde el rol que antes cumplía la curvatura, lo cumplirá el no tener “mucha” estructura aritmética. Por último, estudiaremos algunas aplicaciones de teoremas de restricción a PDE’s, en particular las ecuaciones de Schrodinger y Helmhotz. También estudiaremos la relación entre los problemas de restricción de la transformada de Fourier y otros dos problemas clásicos de la teoría geométrica de la medida y el análisis armónico: el problema de Kakeya y los multiplicadores de Bochner-Riesz.
Citación:
---------- APA ----------
García, Nahuel. (2018). Rango óptimo en teoremas de restricción para la transformada de Fourier a conjuntos fractales. (Tesis de Grado. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000870_Garcia
---------- CHICAGO ----------
García, Nahuel. "Rango óptimo en teoremas de restricción para la transformada de Fourier a conjuntos fractales". Tesis de Grado, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2018.https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000870_Garcia
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