Resumen:
Las álgebras de von Neumann fueron introducidas en la teoría de operadores a través de los trabajos de Murray y von Neumann [MN36], [MN37] y [Neu40], con el nombre de anillos de operadores. Surgieron de la necesidad de otras teorías en que von Neumann también participaba activamente, como la teoría de representaciones de grupos, la teoría ergódica y la formalización de la mecánica cuántica, de una generalización de la teoría de operadores acotados en un espacio de Hilbert. La manera exhaustiva y detallada en que estos trabajos fueron presentados, dieron una base fuerte para la ahora conocida como Teoría de Álgebras de von Neumann. Dentro de esta teoría, el concepto de factor juega un rol fundamental, ya que toda álgebra de von Neumann se la puede descomponer en factores. Por lo tanto, los factores se consideran los “bloques Indivisibles” en la teoría. La primera clasificación de los factores fue presentada en el primero de los trabajos mencionados, separándolas en principio en 3 grandes grupos, las de tipo I, tipo II y tipo III. Pero inmediatamente después se hace una clasificación más fina en tipos In con n ∈ N∪{∞} y tipos II1 y II∞. Más aún, para cada n ∈ N∪{∞}, existe un único factor de tipo In identificado con B (H) donde dim(H) = n. Pero esta identificación solo se pudo hacer para los factores de tipo I, pues la unicidad ya no sucede con los factores de tipo II. Respecto de los de tipo III la situación resultaba peor, pues hasta la existencia de estos factores estuvo puesto en duda y recién fue determinada por von Neumann en el tercero de los trabajos, remarcando la dificultad que había en el estudio de este tipo de factores. Dado que los factores de tipo I fueron identificados en su totalidad, el siguiente paso de las investigaciones se enfocó principalmente en los factores de tipo II, dado que los de tipo III fueron considerados esencialmente intratables. Sin embargo, con la aparición de la Teoría de Tomita-Takesaki en [Tak70], dada M un álgebra de von Neumann, se logra construir un grupo uniparamétrico en Aut(M) que, si bien para los factores de tipo I y II el grupo es trivial, para los de tipo III resulta ser una construcción interesante. De hecho, combinando esto con el Teorema de Cociclo Unitario de Connes, presentado en [Con73], se logra presentar una clasificación de factores de tipo III usando un parámetro λ ∈ [0, 1]. En particular, los factores de Araki-Woods, generados como el Producto Tensorial Infinito de Factores de Tipo I (también conocidos como ITPFI, por sus siglas en inglés), quedaron identificados para el caso λ ∈ (0, 1) con los factores de Powers, el caso más sencillo de factores de Araki-Woods. El objetivo de esta tesis es hacer una presentación de lo expuesto anteriormente, ordenado de la siguiente manera. En el capítulo 1 se desarrollará la teoría básica de las álgebras de von Neumann, revisando las propiedades esenciales de las mismas y presentando la clasificación dada por Murray y von Neumann en los diferentes tipos. Luego, en el capítulo 2, desarrollaremos la teoría de Tomita-Takesaki para el caso de álgebras de von Neumann separables y presentaremos la teoría general. En el Capítulo 3 presentaremos distintas formas de construir álgebras de von Neumann y utilizaremos la teoría desarrollada en el capítulo anterior en el caso particular de los factores de Araki-Woods. Se agrega además un capítulo introductorio con la intención de delinear los conceptos mínimos necesarios para la lectura de este trabajo.
Citación:
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Grimaldi, Daniel Alejandro. (2017). Teoría de Tomita-Takesaki y factores de Araki-Woods. (Tesis de Grado. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000837_Grimaldi
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Grimaldi, Daniel Alejandro. "Teoría de Tomita-Takesaki y factores de Araki-Woods". Tesis de Grado, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2017.https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000837_Grimaldi
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