Resumen:
El problema que se desea resolver en esta tesis es calcular el campo electromagnético en cada punto del espacio al interactuar con una estructura cristalina formada por conductores perfectos que se distribuyen periódicamente en alguna dirección. En el primer capítulo partimos de las ecuaciones de Maxwell para plantear matemáticamente el problema. Obtenemos una ecuación en derivadas parciales en R2 con condiciones de contorno específicas que representan el comportamiento del campo en el borde de los conductores. Para resolver esta ecuación, proponemos una formulación de ecuaciones integrales. En el segundo capítulo desarrollamos la teoría necesaria para fundamentar esta manera específica de resolver la ecuación diferencial. Como en cualquier formulación de ecuaciones integrales, es de vital importancia encontrar una función de Green apropiada para la geometría del problema. En ese sentido, definimos la función de Green cuasiperiódica clásica que viene dada por una serie. Por lo tanto, será necesario probar distintos resultados de convergencia para esta. Veremos que existe una clase de frecuencias, llamadas Wood anomalies, en dónde esta serie deja de converger. Para que nuestra formulación soporte toda clase de frecuencias, describimos la función de Green cuasiperiódica de medio espacio (introducida en [2]) y sus principales resultados de convergencia. Debido a que en la mayoría de las ocasiones resulta imposible resolver analíticamente una ecuación integral, describiremos en el tercer capítulo el método de Nyström que permite aproximar la solución de la ecuación integral mediante la resolución de un sistema lineal de dimensión finita. Para emplear esta metodología deberemos ser capaces de evaluar cualquiera de las dos funciones de Green cuasiperiódicas. Al estar dadas por series, será necesario truncarlas de alguna manera para su evaluación. De esta forma, describimos un método presentado en [17] que, lejos de las frecuencias anómalas, posee convergencia superalgebraica. Este método, como ya se verá, fue pensado en su formulación para computar eficientemente ciertas integrales impropias. Como veremos, la geometría de nuestro problema, al ser no conexa, no permitirá que podamos reescribir los operadores que consideraremos como integrales impropias. En esta etapa fue necesario contar con un resultado para seguir teniendo convergencia superalgebraica en nuestra geometría. Por lo tanto, basados en un teorema introducido en [4], cuya demostración no está completa, daremos un teorema y su respectiva prueba para obtener un resultado de convergencia más fuerte que en [17]. En el último capítulo presentamos tres propuestas que hemos considerado para resolver el problema de este trabajo. El estudio que haremos en este capítulo es netamente numérico. Como se verá, todos nuestros esfuerzos han girado en torno a cómo obtener ecuaciones bien condicionadas y métodos de alto orden para toda frecuencia, incluso para las Wood anomalies y frecuencias cercanas.
Citación:
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Fernández Lado, Agustín. (2013). Scattering electromagnético para estructuras cristalinas. (Tesis de Grado. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000724_FernandezLado
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Fernández Lado, Agustín. "Scattering electromagnético para estructuras cristalinas". Tesis de Grado, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2013.https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000724_FernandezLado
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