Resumen:
Los groupoides étale son objetos matemáticos que generalizan conjuntamente los espacios topológicos, los G-espacios (para G un grupo discreto), y los groupoides discretos. Juegan un papel importante en varios campos, tales como la teoría de topos [JT84], la teoría de stacks topológicos y de orbiespacios [GH07; Cou+15], la teoría de foliaciones [Moe91; MM03] y el estudio de C*-álgebras, particularmente aquellas relacionadas con la dinámica simbólica [Ren80; Pat99; Kum+97; Exe08; Ste10]. Como sugiere el título, este trabajo aplica la teoría moderna de haces superiores (tal como fue desarrollada, por ejemplo, en [Lur09; Sch22; KNP24]) al estudio de groupoides étale. Sea Z una ∞-categoría bicompleta. Como es sabido, cualquier función continua entre espacios topológicos f : X → Y induce una adjunción entre las correspondientes categorías de haces Sh(X; Z) f∗ ⇄ f∗Sh(Y ; Z), (0.0.1) cuyo adjunto a derecha f∗ se conoce como el funtor de “imagen directa” o “pushforward” y está dado por (f∗F)(V ) = F(f−1(V )). Si Z es punteada, existe también un funtor de “imagen directa propia” o “lower shriek” f!: Sh(X; Z) → Sh(Y ; Z), dado por (f!F)(V ) = colim fib(F(f−1 (V )) → F(f−1(V ) ∖ K)), donde el colímite se toma sobre todos los subconjuntos compactos K ⊂ f −1(V ) tales que la restricción f : K → V es una función propia. Además, si Z es estable (por ejemplo, si Z es la ∞-categoría derivada de un anillo) y X es un espacio de Hausdorff localmente compacto, entonces f! admite un adjunto a derecha f !: Sh(Y ; Z) → Sh(X; Z), llamado la “imagen inversa excepcional” o “upper shriek”. (Obsérvese la dirección invertida de la adjunción). Esto se remonta a una realización importante de Verdier, quien se dio cuenta de que, incluso si f ! no admite generalmente un adjunto a derecha para (digamos) Z = ModR la categoría ordinaria de módulos sobre un anillo R, el “funtor derivado” inducido Rf! sí tenía un adjunto a derecha. Como se explica en [Vol23], para categorías estables bicompletas Z se puede obtener la adjunción f! ⊣ f! de la adjunción f∗ ⊣ f∗, como consecuencia formal de la versión de Lurie de la dualidad de Verdier [Lur17, 5.5.5.1], que afirma que el “funtor de secciones compactas” Γc : Sh(X; Z) → coSh(X; Z) := Sh(X; Zop)op, dado informalmente por Γc(F)(U) = colimK⊂U fib(F(U) → F(U ∖ K)) (donde el colímite está tomado sobre todos los subconjuntos compactos K ⊂ U), es una equivalencia. Uno de los resultados de este trabajo es una generalización de la dualidad de Lurie-Verdier al contexto de groupoides étale con espacio de unidades de Hausdorff localmente compacto. El formalismo de seis funtores resultante será investigado en otra parte. Resultados similares han sido obtenidos para categorías derivadas clásicas en [CM00], y nuestros resultados deben verse como un refinamiento categórico superior y una generalización de los suyos, de la misma manera que la dualidad de Lurie-Verdier y el formalismo de seis funtores resultante [Vol23] refinan y generalizan sus contrapartes clásicas (para las cuales remitimos al lector a [KS90]). En su trabajo reciente [Efi25], Efimov define la K-teoría para las llamadas categorías dualizables, y la utiliza para calcular la K-teoría de Sh(X; Z) para X un espacio localmente compacto Hausdorff y Z una categoría dualizable. Este cálculo es posible porque Sh(X; Z) es dualizable, aunque casi nunca es compactamente generada. En este trabajo, también establecemos la propiedad análoga para groupoides étale. Calcular la K-teoría de Sh(G ; Z) para G un groupoide étale (con espacio de unidades de localmente compacto Hausdorff) se convierte así en una empresa legítima, la cual es el principal objetivo de un trabajo en progreso de Arnone, Mukherjee y Nikolaus.
Abstract:
Étale groupoids are mathematical objects jointly generalizing topological spaces, G-spaces (for G a discrete group), and discrete groupoids. They play an important role in various fields, such as classical topos theory [JT84], the theory of topological stacks and orbispaces [GH07; Cou+15], the theory of foliations [Moe91; MM03] and the study of C*-algebras, particularly those related to symbolic dynamics [Ren80; Pat99; Kum+97; Exe08; Ste10]. As the title suggests, this work applies the modern theory of higher sheaves (as developed, for example, in [Lur09; Sch22; KNP24]) to the study of étale groupoids. Let Z be a bicomplete ∞-category. As is well-known, any continuous map of topological spaces f : X → Y induces an adjunction between the corresponding sheaf categories Sh(X; Z) f∗⇄f∗Sh(Y ; Z), (0.1.1) whose right adjoint f∗ is called the ‘direct image’ or ‘pushforward’ functor and is given by (f∗F)(V ) = F(f−1(V )). If Z is pointed, there is also a ‘proper direct image’ or ‘lower shriek’ functor f! : Sh(X; Z) →Sh(Y ; Z), given by(f!F)(V ) = colim fib(F(f−1(V )) → F(f−1 (V ) ∖ K)), where the colimit is taken over all compact subsets K ⊂ f −1 (V ) such that the restriction f : K → V is a proper map. Moreover, if Z is stable (for example, if Z is the derived ∞- category of a ring) and X is a locally compact Hausdorff space, then f! admits a right adjoint f! : Sh(Y ; Z) → Sh(X; Z), called the ‘exceptional inverse image’ or ‘upper shriek’. (Note the reversed direction of the adjunction.) This goes back to an important insight of Verdier, who realized that, even if f! did not generally admit a right adjoint for (say) Z = ModR the ordinary category of modules over a ring R, the induced ‘derived functor’ Rf! did have a right adjoint. As explained in [Vol23], for bicomplete stable categories Z one can obtain the adjunction f! ⊣ f! from the adjunction f∗ ⊣ f∗, as a formal consequence of Lurie’s version of Verdier duality [Lur17, 5.5.5.1], which states that the ‘compact sections functor’ Γc : Sh(X; Z) → coSh(X; Z) := Sh(X; Z op) op, given informally by Γc(F)(U) = colimK⊂U fib(F(U) → F(U ∖ K))(with the colimit ranging over all compact subsets K ⊂ U), is an equivalence. One of the results of this work is a generalization of Lurie’s Verdier duality to the setting of étale groupoids with locally compact Hausdorff unit space. The resulting six-functor formalism will be investigated elsewhere. Similar results have been obtained for classical derived categories in [CM00], and our results should be seen as a higher categorical refinement and generalization of theirs, in the same way as Lurie-Verdier duality and the resulting six-functor formalism [Vol23] refine and generalize their classical counterparts (for which we refer the reader to [KS90]). In his recent work [Efi25], Efimov defines K-theory for so-called dualizable categories, and uses it to compute the K-theory of Sh(X; Z) for X a locally compact Hausdorff space and Z a dualizable category. What makes this possible is that Sh(X; Z) is dualizable, even though it is almost never compactly generated. In this work, we also establish the analogous property for étale groupoids. The computation of the K-theory of Sh(G ; Z) for G an étale groupoid with locally compact Hausdorff unit space thus becomes a legitimate enterprise. Such computation is the subject of ongoing work by Arnone, Mukherjee and Nikolaus.
Citación:
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Glaeser Santamaría, Michael Janou. (2025). Haces superiores sobre grupoides étale. (Tesis de Grado. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.). Recuperado de https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000999_GlaeserSantamaria
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Glaeser Santamaría, Michael Janou. "Haces superiores sobre grupoides étale". Tesis de Grado, Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, 2025.https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nMAT000999_GlaeserSantamaria
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